Examkin

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

30 soru

Soru 1Soru →

Şekildeki ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. DD noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olup ∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC|'dir. m(ABD^)=30∘m(\widehat{ABD}) = 30^\circ olduğuna göre, m(BAC^)m(\widehat{BAC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40∘40^\circ

Cevap

Aranan tepe açısının ölçüsü 40 derecedir.
Tepe açısı xx olarak kabul edildiğinde, büyük ikizkenar üçgenin taban açıları 90−x/290 - x/2 olur. İçerideki BDCBDC ikizkenar üçgeninde de taban açısı aynı değerdir. ABDABD üçgeninin iki iç açısının toplamı (x+30x + 30), kendisine komşu olmayan dış açıya (90−x/290 - x/2) eşitlendiğinde denklem x=40x = 40 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
m(BAC^)=xm(\widehat{BAC}) = x olarak adlandırın.
Tepe açısı xx oldu.
Bilinmeyen açıyı bulmak için bir değişken atıyoruz.
2
∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ikizkenarlığını kullanarak taban açılarını ifade edin.
m(ABC^)=m(ACB^)=180∘−x2=90∘−x2m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = \frac{180^\circ - x}{2} = 90^\circ - \frac{x}{2}.
İkizkenar üçgende taban açılarının eşitliği kuralını uyguluyoruz.
3
∣BD∣=∣BC∣|BD| = |BC| ikizkenarlığını kullanarak BDCBDC üçgenindeki açıları yazın.
m(BDC^)=m(BCD^)=90∘−x2m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BCD}) = 90^\circ - \frac{x}{2}.
DD noktası [AC][AC] üzerinde olduğundan m(BCD^)=m(ACB^)m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{ACB}) olur.
4
ABDABD üçgeninde dış açı özelliğini uygulayın.
m(BDC^)=m(BAC^)+m(ABD^)⇒90∘−x2=x+30∘m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{ABD}) \Rightarrow 90^\circ - \frac{x}{2} = x + 30^\circ.
Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
5
Elde edilen denklemi çözün.
60∘=1,5x⇒x=40∘60^\circ = 1,5x \Rightarrow x = 40^\circ.
Matematiksel işlemleri tamamlayarak bilinmeyene ulaşıyoruz.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgenlerde taban açılarının eşitliği ve bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olması özelliği.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenlerin taban açılarının birbirine eşit olduğunu hatırlayın.
2
∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC| olduğu için ABCABC üçgeninin taban açılarını tepe açısı xx cinsinden ifade edin.
3
ABDABD üçgeninde, DD köşesindeki dış açının (widehatBDC\\widehat{BDC}) komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğunu kullanarak bir denklem kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, iç bölgede alınan farklı bir noktayla oluşan ek ikizkenar üçgenleri inceleyerek açı-kenar bağıntılarını pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgen, ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ dir. [BC][BC] tabanı üzerinde alınan herhangi bir PP noktasından üçgenin eş olan kenarlarına indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı 66 cm'dir. Buna göre, ABCABC üçgeninin [BC][BC] tabanına ait yüksekliği kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 232\sqrt{3}

Cevap

İkizkenar üçgenin tabanına ait yüksekliği 232\sqrt{3} cm'dir.
Verilen ikizkenar üçgen özelliğine göre, dikmelerin toplamı olan 66 cm, yan kenarlardan birine indirilen yüksekliğe eşittir. Tepe açısı 120∘120^\circ olduğundan taban açıları 30∘30^\circ'dir. Yan kenar yüksekliği 66 cm olan bir 30−60−9030-60-90 üçgeninde taban ∣BC∣=12|BC| = 12 cm bulunur. 120−30−30120-30-30 üçgeninde tabana ait yükseklik, taban yarısının (66 cm) 3\sqrt{3}'e bölünmesiyle 232\sqrt{3} cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin dikme özelliğini uygula.
hyan=6h_{yan} = 6 cm
İkizkenar üçgende tabandaki bir noktadan yan kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, yan kenarlardan birine ait yüksekliğe (hbh_b veya hch_c) eşittir.
2
Üçgenin taban açılarını hesapla.
m(B^)=m(C^)=30∘m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 30^\circ
Tepe açısı 120∘120^\circ olan ikizkenar üçgenin iç açıları toplamından taban açıları (180∘−120∘)/2=30∘(180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ olarak bulunur.
3
Yan kenar yüksekliğini kullanarak taban uzunluğunu bul.
∣BC∣=12|BC| = 12 cm
Yan kenara ait yükseklik (hyanh_{yan}), tabanı hipotenüs kabul eden ve 30∘30^\circ açısı olan bir dik üçgen oluşturur. sin⁡30∘=hyan/∣BC∣⇒1/2=6/∣BC∣⇒∣BC∣=12\sin 30^\circ = h_{yan} / |BC| \Rightarrow 1/2 = 6 / |BC| \Rightarrow |BC| = 12 cm olur.
4
Taban yüksekliğini (htabanh_{taban}) hesapla.
htaban=23h_{taban} = 2\sqrt{3} cm
ABCABC üçgeninde tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya (66 cm) böler. Oluşan 30−60−9030-60-90 üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısı 66 cm ise, 30∘30^\circ'nin karşısı (yükseklik) 6/3=236 / \sqrt{3} = 2\sqrt{3} cm'dir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar ve özel açılı üçgen özellikleri

İpuçları

1
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı hangi uzunluğa eşittir?
2
Tepe açısı 120∘120^\circ olan bir üçgende taban açıları kaç derecedir? Bu açıları kullanarak bir 30−60−9030-60-90 üçgeni oluşturun.
3
Yan kenar yüksekliği 66 cm ise, taban uzunluğu 1212 cm olur. Bu durumda tabana ait yüksekliği bulmak için tabanın yarısını ve taban açısının tanjantını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eğer üçgen eşkenar olsaydı ve içindeki bir noktadan kenarlara dikmeler indirilseydi, bu toplam neye eşit olurdu?

Alternatif Yöntem

120∘−30∘−30∘120^\circ-30^\circ-30^\circ üçgeninde kenar özellikleri a,a,a3a, a, a\sqrt{3} şeklindedir. Alanı iki farklı şekilde yazarak (∣BC∣⋅htaban/2=∣AB∣⋅hyan/2|BC| \cdot h_{taban} / 2 = |AB| \cdot h_{yan} / 2) sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

ABC bir ikizkenar üçgendir. ∣AB∣=∣AC∣=10|AB| = |AC| = 10 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm olarak veriliyor.

[BC][BC] kenarının CC köşesi tarafındaki uzantısı üzerinde, ∣CD∣=9|CD| = 9 cm olacak şekilde bir DD noktası alınıyor.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17
İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme, tabanı ortalar. Taban 12 cm olduğundan 6-6 ayrılır. Yükseklik 6-8-10 üçgeninden 8 cm bulunur. Dışarıdaki parça 9 cm eklendiğinde yeni taban 15 cm olur. Oluşan büyük dik üçgen 8-15-17 özel üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgenin tepe noktası olan A'dan BC tabanına bir dikme (yükseklik) indirin ve tabanı kestiği noktaya H deyin.
AH ⊥ BC ve |BH| = |HC| = 6 cm
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler (Yaki Kuralı).
2
AHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak yükseklik (h) uzunluğunu hesaplayın.
|AH|² + 6² = 10² ⇒ |AH| = 8 cm
6-8-10 özel dik üçgeni.
3
Büyük dik üçgen olan AHD üçgeninin taban uzunluğunu (|HD|) belirleyin.
|HD| = |HC| + |CD| = 6 + 9 = 15 cm
H noktası BC üzerinde, D noktası uzantıdadır.
4
AHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak |AD| uzunluğunu bulun.
|AD|² = |AH|² + |HD|² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 ⇒ |AD| = 17 cm
8-15-17 özel dik üçgeni.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi ve oluşan yeni dik üçgenlerde Pisagor bağıntısının kullanımı.

İpuçları

1
İkizkenar üçgenin tepe noktasından tabana bir dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme, ∣BC∣|BC| tabanını iki eşit parçaya bölecektir. Yüksekliği bulmak için Pisagor bağıntısını kullanın.
3
Yükseklik 8 cm ve yeni oluşan büyük dik üçgenin tabanı 6+9=156 + 9 = 15 cm'dir. 8-15-... özel üçgenini hatırlayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Bir ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ve tepe açısının ölçüsü m(BAC^)=40∘m(\widehat{BAC}) = 40^\circ olarak verilmiştir. Buna göre, BB açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7070

Cevap

70∘70^\circ
İkizkenar üçgenin en temel özelliği, eşit olan kenarların karşısındaki açıların da eşit olmasıdır. Tepe açısı 40∘40^\circ olan bir üçgende, taban açılarına toplam 140∘140^\circ kalır. Bu toplam iki eşit parçaya bölündüğünde her bir taban açısı 70∘70^\circ olur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin iç açılar toplamını belirle
180∘180^\circ
Herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180∘180^\circ'dir.
2
Tepe açısını toplamdan çıkar
180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ
Taban açılarının (BB ve CC) toplamını bulmak için tepe açısını toplamdan çıkarmalıyız.
3
Elde edilen toplamı ikiye böl
140∘/2=70∘140^\circ / 2 = 70^\circ
İkizkenar üçgende eşit kenarların (ABAB ve ACAC) karşısındaki açılar (BB ve CC) birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir ve iç açılar toplamı 180∘180^\circ'dir.

İpuçları

1
Bir üçgenin iç açılarının toplamının her zaman 180∘180^\circ olduğunu hatırla.
2
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar (BB ve CC) birbirine eşittir.
3
180∘180^\circ'den 40∘40^\circ çıkarıp bulduğun sonucu iki eşit açıya paylaştırmalısın.

Daha Fazla Pratik

Eğer taban açılarından biri verilseydi, tepe açısını nasıl bulurdun? Bunu düşünerek konuyu pekiştirebilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Şekildeki ABCABC eşkenar üçgeninde DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindedir. ∣AB∣=8|AB| = 8 cm ve ∣BD∣=3|BD| = 3 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Uzunluk 7 cm'dir.
Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşittir. Bir köşeden inilen dikme tabanı ortalar. Bu özellik kullanılarak oluşturulan dik üçgende Pisagor bağıntısı veya doğrudan Kosinüs Teoremi (c2=a2+b2−2abcos⁡(60∘)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^{\circ})) ile sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] kenarına AHAH dikmesi indirilir.
ABCABC eşkenar olduğu için HH noktası [BC][BC]'yi iki eş parçaya böler. ∣BC∣=∣AB∣=8|BC|=|AB|=8 cm olduğundan ∣BH∣=∣HC∣=4|BH|=|HC|=4 cm olur.
Eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
2
DD noktasının HH noktasına olan uzaklığı hesaplanır.
∣BD∣=3|BD|=3 cm ve ∣BH∣=4|BH|=4 cm olduğu için DD noktası BB ile HH arasındadır. ∣HD∣=∣BH∣−∣BD∣=4−3=1|HD| = |BH| - |BD| = 4 - 3 = 1 cm bulunur.
Dik üçgenin taban uzunluğunu bulmak için parça uzunlukları çıkarılır.
3
AHAH yüksekliğinin uzunluğu hesaplanır.
30−60−9030-60-90 üçgeninden (veya Pisagor'dan) ∣AH∣=43|AH| = 4\sqrt{3} cm bulunur.
Eşkenar üçgenin yüksekliği h=a32h = \frac{a\sqrt{3}}{2} formülüyle bulunur.
4
AHDAHD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanır.
∣AD∣2=∣AH∣2+∣HD∣2⇒∣AD∣2=(43)2+12=48+1=49|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2 \Rightarrow |AD|^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2 = 48 + 1 = 49. Buradan ∣AD∣=7|AD|=7 cm elde edilir.
Aranan kenar hipotenüstür.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgende tabana indirilen dikme tabanı ikiye böler (Yaki Kuralı) ve oluşan dik üçgenlerde Pisagor bağıntısı veya Kosinüs Teoremi kullanılır.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin bir köşesinden tabana dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme, tabanı iki eşit parçaya böler. |BH| uzunluğunu bulun.
3
Oluşan dik üçgende dik kenarlar 434\sqrt{3} ve 11 cm'dir. Pisagor bağıntısını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ikizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Kosinüs Teoremi: △ABD\triangle ABD üçgeninde, ∣AD∣2=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡(60∘)|AD|^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) formülüyle doğrudan çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 6Soru →

Bir kenar uzunluğu 66 cm olan ABCABC eşkenar üçgeni veriliyor. [BC][BC] kenarı CC noktası yönünde, ∣CD∣=∣AC∣|CD| = |AC| olacak şekilde bir DD noktasına kadar uzatılıyor. Buna göre, AA ile DD noktaları arasındaki uzaklık (∣AD∣|AD|) kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 636\sqrt{3}

Cevap

Doğru cevap 636\sqrt{3} cm'dir.
Verilen ABCABC eşkenar üçgeninde açılar 60∘60^\circ ve kenarlar 66 cm'dir. [BC][BC] uzatıldığında oluşan ACDACD üçgeni, ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğu için ikizkenardır. CC noktasındaki dış açı 120∘120^\circ olduğundan ACDACD üçgeninin taban açıları 30∘30^\circ olur. Bu durumda ABDABD üçgeninin açıları 60∘,90∘,30∘60^\circ, 90^\circ, 30^\circ şeklinde sıralanır. 30−60−9030-60-90 üçgeni kuralına göre, 60∘60^\circ'nin karşısındaki ∣AD∣|AD| kenarı, 30∘30^\circ'nin karşısındaki 66 cm'lik ∣AB∣|AB| kenarının 3\sqrt{3} katı olan 636\sqrt{3} cm'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar üçgenin özelliklerini belirleme
∣AB∣=∣BC∣=∣AC∣=6|AB| = |BC| = |AC| = 6 cm ve iç açılar 60∘60^\circ olur.
Eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşittir.
2
ACDACD üçgeninin açılarını hesaplama
m(ACD^)=120∘m(\widehat{ACD}) = 120^\circ ve m(CAD^)=m(ADC^)=30∘m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{ADC}) = 30^\circ bulunur.
CC köşesindeki dış açı 120∘120^\circ'dir ve ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| verildiği için ACDACD bir ikizkenar üçgendir.
3
ABDABD üçgeninin türünü belirleme
m(BAD^)=60∘+30∘=90∘m(\widehat{BAD}) = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ olur. ABDABD bir 30−60−9030-60-90 üçgenidir.
Üçgenin iç açılar toplamından veya açılar toplandığında dik açı oluştuğu görülür.
4
∣AD∣|AD| uzunluğunu hesaplama
∣AD∣=∣AB∣⋅3=63|AD| = |AB| \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} cm bulunur.
30−60−9030-60-90 dik üçgeninde 60∘60^\circ'nin karşısındaki kenar, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenarın 3\sqrt{3} katıdır.

Anahtar Kavram

İkizkenar ve Eşkenar Üçgen özelliklerinin birleşimi ile 30−60−9030-60-90 özel dik üçgeninin elde edilmesi.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin bir dış açısının kaç derece olduğunu ve bunun ACDACD üçgeni için ne ifade ettiğini düşünün.
2
∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| bilgisi ACDACD üçgenini ikizkenar yapar. Bu üçgenin taban açılarını hesaplayıp büyük ABDABD üçgeninin açılarını bulun.
3
ABDABD üçgeninin bir 30−60−9030-60-90 dik üçgeni olduğunu göreceksiniz. Dik kenarlar arasındaki oranı kullanın.

Daha Fazla Pratik

Eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ile ilgili özellikleri içeren soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

A noktasından [BD][BD] doğrusuna bir dikme (yükseklik) indirerek de çözebilirsiniz. İndirilen dikme eşkenar üçgenin yüksekliği olur ve ∣AD∣|AD| uzunluğu Pisagor bağıntısı ile hesaplanabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 7Soru →

Bir kenar uzunluğu 1212 cm olan ABCABC eşkenar üçgeninin [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınıyor. DD noktasından [AB][AB] kenarına inilen dikmenin ayağı EE, [AC][AC] kenarına inilen dikmenin ayağı FF'dir.

AEDFAEDF dörtgeninin alanı 26326\sqrt{3} cm 2^2 olduğuna göre, ∣BD∣|BD| uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dörtgenin alanından yola çıkarak ∣BD∣|BD| uzunluğu 4 cm olarak bulunur.
Doğru cevap, eşkenar üçgenin alanından köşelerdeki 30-60-90 üçgenlerinin alanlarının çıkarılmasıyla kurulan x2−12x+32=0x^2 - 12x + 32 = 0 denkleminin köküdür (x=4x=4).

Adım Adım Çözüm

1
AEDFAEDF dörtgeninin alanını bulmak için, tüm üçgenin alanından köşelerdeki dik üçgenlerin (triangleBED\\triangle BED ve triangleDFC\\triangle DFC) alanlarını çıkarma yöntemini belirle.
Alan(AEDFAEDF) = Alan(ABCABC) - [Alan(BEDBED) + Alan(DFCDFC)]
Düzgün olmayan dörtgenin alanını bulmanın en pratik yolu, bilinen büyük şekilden parça çıkarmaktır.
2
ABCABC eşkenar üçgeninin alanını hesapla (kenar a=12a=12).
Alan(ABCABC) = frac122sqrt34=36sqrt3\\frac{12^2\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3} cm 2^2.
Eşkenar üçgen alan formülü: fraca2sqrt34\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}.
3
∣BD∣=x|BD| = x diyerek ∣DC∣=12−x|DC| = 12-x olduğunu yaz ve oluşan 30-60-90 üçgenlerinin (triangleBED\\triangle BED ve triangleDFC\\triangle DFC) alanlarını xx cinsinden ifade et.
Alan(BEDBED) = frac12cdotfracx2cdotfracxsqrt32=fracx2sqrt38\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{x}{2} \\cdot \\frac{x\\sqrt{3}}{2} = \\frac{x^2\\sqrt{3}}{8}. Alan(DFCDFC) = frac(12−x)2sqrt38\\frac{(12-x)^2\\sqrt{3}}{8}.
30-60-90 üçgeninde hipotenüs kk ise, 30'un karşısı k/2k/2, 60'ın karşısı ksqrt3/2k\\sqrt{3}/2 olur.
4
Verilen dörtgen alanı (26sqrt326\\sqrt{3}) ile toplam alan eşitliğini kur ve xx için çöz.
36sqrt3−(fracx2sqrt38+frac(12−x)2sqrt38)=26sqrt336\\sqrt{3} - (\\frac{x^2\\sqrt{3}}{8} + \\frac{(12-x)^2\\sqrt{3}}{8}) = 26\\sqrt{3} denklemi çözüldüğünde x2−12x+32=0x^2 - 12x + 32 = 0 elde edilir.
Alanı verilen değere eşitleyerek bilinmeyeni bulmak için.
5
İkinci dereceden denklemin köklerini bul.
(x−4)(x−8)=0(x-4)(x-8)=0 olduğundan x=4x=4 veya x=8x=8. Şıklarda 4 olduğu için cevap 4'tür.
DD noktası simetrik iki konumda olabilir, soruda 'hangisi olabilir' denmesinin sebebi budur.

Anahtar Kavram

Eşkenar Üçgen Alan Parçalaması

İpuçları

1
Tüm üçgenin alanını hesaplayıp, köşelerde oluşan küçük dik üçgenlerin alanlarını toplam alandan çıkarmayı deneyin.
2
Köşelerde oluşan triangleBED\\triangle BED ve triangleDFC\\triangle DFC üçgenleri, 30-60-90 üçgenleridir. ∣BD∣=x|BD|=x derseniz dik kenarları xx cinsinden bulabilirsiniz.
3
∣BD∣=x|BD|=x ise ∣DC∣=12−x|DC|=12-x olur. AEDFAEDF alanı = (Tüm Alan) - (Alan(BEDBED) + Alan(DFCDFC)). Bu denklem size xx'e bağlı ikinci dereceden bir denklem verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir karenin köşesinden parça kesilerek oluşturulan alan sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yamuk Alanı Yöntemi: EE ve FF noktalarının koordinatlarını veya yüksekliklerini belirleyip, şekli dik yamuklara bölerek de alan hesabı yapılabilir, ancak çıkarma yöntemi daha pratiktir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 8Soru →

∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olan ABCABC ikizkenar üçgeninin ağırlık merkezi GG noktasıdır. ∣BC∣=16|BC| = 16 cm ve GG noktasının AA köşesine olan uzaklığı 1010 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17 cm
İkizkenar üçgende ağırlık merkezi (GG), tabana inen yükseklik üzerinde bulunur. Ağırlık merkezi kenarortayı 1'e 2 oranında böldüğü için, ∣AG∣=10|AG|=10 ise ∣GH∣=5|GH|=5 ve toplam yükseklik ∣AH∣=15|AH|=15 cm olur. Taban ∣BC∣=16|BC|=16 olduğundan yükseklik tabanı ikiye böler (∣BH∣=8|BH|=8). Oluşan ABHABH dik üçgeni 8-15-17 özel üçgenidir, dolayısıyla ∣AB∣=17|AB|=17 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden GG noktasından geçen ve [BC][BC] kenarını kesen doğru parçasını çizin ve kesim noktasına HH deyin.
[AH][AH] doğru parçası oluşur.
İkizkenar üçgende tepe açısından inen ve ağırlık merkezinden geçen doğru, tabana ait kenarortay ve aynı zamanda yüksekliktir.
2
Ağırlık merkezi özelliğini (k'ya 2k oranı) kullanarak ∣GH∣|GH| ve toplam ∣AH∣|AH| yüksekliğini hesaplayın.
∣AG∣=2∣GH∣⇒10=2∣GH∣⇒∣GH∣=5|AG| = 2|GH| \Rightarrow 10 = 2|GH| \Rightarrow |GH|=5 cm. Yükseklik ∣AH∣=10+5=15|AH| = 10 + 5 = 15 cm.
Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye 2 birim, kenara 1 birim oranında böler.
3
İkizkenar üçgen özelliğinden dolayı HH noktasının [BC][BC] tabanını iki eş parçaya böldüğünü belirleyin.
∣BH∣=∣HC∣=162=8|BH| = |HC| = \frac{16}{2} = 8 cm.
İkizkenar üçgende tepe açısından inen yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
4
ABHABH dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak ∣AB∣|AB| uzunluğunu bulun.
∣AB∣2=∣BH∣2+∣AH∣2⇒∣AB∣2=82+152=64+225=289⇒∣AB∣=17|AB|^2 = |BH|^2 + |AH|^2 \Rightarrow |AB|^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \Rightarrow |AB| = 17 cm.
Oluşan 8-15-17 özel dik üçgeni yardımıyla hipotenüs hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikme hem kenarortay hem de açıortaydır; ayrıca ağırlık merkezi bu doğru üzerinde olup kenarortayı 1'e 2 oranında böler.

İpuçları

1
İkizkenar üçgende ağırlık merkezinin (GG) hangi doğru üzerinde bulunduğunu hatırlayınız.
2
AA köşesinden GG noktasından geçecek şekilde tabana bir dikme indirin. Ağırlık merkezi kenarortayı hangi oranda böler?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

Şekildeki ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. Üçgenin [AC][AC] kenarına ait [BH][BH] yüksekliği çizilmiştir. HH noktası [AC][AC] kenarı üzerinde olmak üzere, ∣AH∣=7|AH| = 7 cm ve ∣HC∣=2|HC| = 2 cm olarak verilmiştir.

Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 cm
Verilen ikizkenar üçgen özelliğinden yan kenar ∣AB∣=9|AB|=9 cm bulunur. ABHABH dik üçgeninde Pisagor ile yükseklik karesi ∣BH∣2=32|BH|^2=32 elde edilir. Daha sonra BHCBHC dik üçgeninde tekrar Pisagor uygulanarak taban ∣BC∣=32+4=6|BC|=\sqrt{32+4}=6 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen uzunlukları kullanarak ikizkenar üçgenin eşit kenar uzunluğunu belirle.
∣AC∣=∣AH∣+∣HC∣=7+2=9|AC| = |AH| + |HC| = 7 + 2 = 9 cm. Dolayısıyla ∣AB∣=9|AB| = 9 cm olur.
H noktası AC üzerindedir ve üçgen ikizkenardır (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|).
2
ABHABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣BH∣2|BH|^2 değerini bul.
∣AB∣2=∣AH∣2+∣BH∣2⇒92=72+∣BH∣2⇒81=49+∣BH∣2⇒∣BH∣2=32|AB|^2 = |AH|^2 + |BH|^2 \Rightarrow 9^2 = 7^2 + |BH|^2 \Rightarrow 81 = 49 + |BH|^2 \Rightarrow |BH|^2 = 32.
BH yüksekliği, ABH üçgeninde bir dik kenardır.
3
BHCBHC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak ∣BC∣|BC| uzunluğunu hesapla.
∣BC∣2=∣BH∣2+∣HC∣2⇒∣BC∣2=32+22⇒∣BC∣2=36⇒∣BC∣=6|BC|^2 = |BH|^2 + |HC|^2 \Rightarrow |BC|^2 = 32 + 2^2 \Rightarrow |BC|^2 = 36 \Rightarrow |BC| = 6 cm.
BC kenarı BHC dik üçgeninin hipotenüsüdür.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana veya yan kenarlara inilen dikmelerin oluşturduğu dik üçgenlerde Pisagor bağıntısının uygulanması.

İpuçları

1
Önce ∣AB∣|AB| kenar uzunluğunu bulmak için verilen eşitliği (∣AB∣=∣AC∣|AB|=|AC|) ve ACAC üzerindeki parçaları kullanın.
2
∣AB∣|AB| uzunluğunu bulduktan sonra, soldaki ABHABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak ∣BH∣2|BH|^2 değerini hesaplayın.
3
∣BH∣2|BH|^2 değerini bulduktan sonra, sağdaki küçük BHCBHC dik üçgeninde tekrar Pisagor bağıntısı uygulayarak ∣BC∣|BC| hipotenüsünü bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda, bu sefer taban uzunluğu verilip yan kenara ait yüksekliğin ayırdığı parçaların sorulduğu bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Trigonometri kullanarak: cos⁡A=∣AH∣/∣AB∣=7/9\cos A = |AH|/|AB| = 7/9. ABCABC üçgeninde Kosinüs Teoremi: ∣BC∣2=92+92−2⋅9⋅9⋅(7/9)=162−126=36|BC|^2 = 9^2 + 9^2 - 2\cdot9\cdot9\cdot(7/9) = 162 - 126 = 36. Buradan ∣BC∣=6|BC|=6.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

|AB| = |AC| olan ABC ikizkenar üçgeninde, [BC] tabanı üzerinde bir D noktası alınıyor. D noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla E ve F noktalarıdır.

|DE| = 4 cm, |DF| = 8 cm ve |BC| = 15 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm² dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

ABC üçgeninin alanı 75 cm² dir.
Verilen dikmelerin uzunlukları ve taban uzunluğu kullanılarak üçgenin açıları ve yüksekliği belirlenebilir. Benzerlikten |BD|=5 cm bulunur, bu da B açısının sinüsünün 4/5 olduğunu gösterir. Buradan tabana ait yükseklik 10 cm olarak hesaplanır ve alan (15*10)/2 = 75 cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Benzerlik oranını kullanarak taban parçalarını bulunuz.
|BD| = 5 cm, |DC| = 10 cm
EBD ve FCD dik üçgenlerinde B ve C açıları eşittir. sin(B) = 4/|BD| ve sin(C) = 8/|DC|. Oran 1/2 olduğundan |DC|=2|BD| olur. Toplam 15 cm olduğundan parçalar 5 ve 10 cm'dir.
2
Taban açısının trigonometrik değerini hesaplayınız.
sin(B) = 4/5
EBD üçgeninde karşı/hipotenüs oranı 4/5'tir. Bu 3-4-5 üçgeni olduğunu gösterir, yani tan(B) = 4/3 olur.
3
Üçgenin tabana ait yüksekliğini (h_a) hesaplayınız.
h_a = 10 cm
Tabana ait yükseklik h_a çizildiğinde, tabanı iki eş parçaya böler (|BH|=7.5). h_a = |BH| * tan(B) = 7.5 * (4/3) = 10 cm.
4
Üçgenin alanını hesaplayınız.
Alan = 75 cm²
Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 = (15 * 10) / 2 = 75 cm².

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerle ilgili özellikler ve trigonometrik oranlar.

İpuçları

1
D noktasından kenarlara çizilen dik üçgenlere (EBD ve FCD) odaklanın. B ve C açılarının eşit olması bu üçgenler arasında nasıl bir ilişki kurar?
2
|DE|=4 ve |DF|=8 olduğuna göre, |BD| ve |DC| uzunlukları arasında 1'e 2 oranı vardır. Toplamları 15 cm olduğuna göre bu parçaların uzunluklarını bulabilirsiniz.
3
|BD|=5 cm bulduysanız, EBD üçgeninin 3-4-5 üçgeni olduğunu fark edebilirsiniz. Bu durumda B açısının tanjantı 4/3 olur. Tabana inen yüksekliği bulmak için bunu kullanın.

Alternatif Yöntem

Yan kenara ait yükseklik h_b = |DE| + |DF| = 12 cm'dir. sin(B)=4/5 olduğundan cos(B)=3/5'tir. Tabana inilen dikme tabanı 7.5 cm böler. Yan kenar |AB| = 7.5 / cos(B) = 7.5 / (3/5) = 12.5 cm bulunur. Alan = (12.5 * 12) / 2 = 75 cm².
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 11Soru →

Şekilde ABCABC bir eşkenar üçgen, BCDBCD ise ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| olan bir ikizkenar üçgendir. DD noktası ABCABC üçgeninin dış bölgesinde kalmaktadır. m(BDC^)=100∘m(\widehat{BDC}) = 100^\circ olduğuna göre, m(ABD^)m(\widehat{ABD}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100∘100^\circ

Cevap

Doğru cevap 100∘100^\circ ölçüsüdür.
ABCABC üçgeni eşkenar olduğu için tüm açıları 60∘60^\circ'dir, dolayısıyla m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ olur. BCDBCD üçgeni ikizkenar olduğundan ve ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| verildiğinden, taban açıları olan m(DBC^)m(\widehat{DBC}) ve m(DCB^)m(\widehat{DCB}) birbirine eşittir. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ kuralına göre; 100∘+2⋅m(DBC^)=180∘100^\circ + 2 \cdot m(\widehat{DBC}) = 180^\circ denkleminden m(DBC^)=40∘m(\widehat{DBC}) = 40^\circ bulunur. Şekle göre m(ABD^)=m(ABC^)+m(DBC^)m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{DBC}) olduğundan, sonuç 60∘+40∘=100∘60^\circ + 40^\circ = 100^\circ olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC eşkenar üçgeninin iç açılarını belirleyin.
m(ABC^)=60∘m(\widehat{ABC}) = 60^\circ
Eşkenar üçgenin tüm iç açıları 60∘60^\circ'dir.
2
BCDBCD ikizkenar üçgeninin taban açılarını hesaplayın.
m(DBC^)=40∘m(\widehat{DBC}) = 40^\circ
∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| olduğu için taban açıları eşittir. 180∘−100∘=80∘180^\circ - 100^\circ = 80^\circ ve 80∘/2=40∘80^\circ / 2 = 40^\circ bulunur.
3
İstenen açıyı bulmak için iki açıyı toplayın.
m(ABD^)=60∘+40∘=100∘m(\widehat{ABD}) = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ
m(ABD^)m(\widehat{ABD}) açısı, ABCABC ve DBCDBC açılarının toplamından oluşmaktadır.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgenin her bir iç açısının 60∘60^\circ olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açılarının birbirine eşit olması.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin tüm iç açılarının her birinin 60∘60^\circ olduğunu hatırlayın.
2
İkizkenar üçgende ∣BD∣=∣CD∣|BD| = |CD| ise, bu kenarların karşısındaki BB ve CC köşelerindeki açıların birbirine eşit olması gerektiğini kullanın.
3
BCDBCD üçgeninde tepe açısı 100∘100^\circ ise, taban açılarını bulmak için 180∘180^\circ'den 100∘100^\circ çıkarıp ikiye bölün. Ardından bulduğunuz bu açıyı eşkenar üçgenin 60∘60^\circ'lik açısıyla toplayın.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende tepe açısı yerine taban açılarından biri verilseydi tepe açısını nasıl bulurdunuz?
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →

Bir ABCABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için ∣AP∣=6|AP| = 6 cm, ∣BP∣=8|BP| = 8 cm ve ∣CP∣=10|CP| = 10 cm eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, m(APB^)m(\widehat{APB}) açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150 derece
Sorunun çözümü için APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürmek gerekir. Bu işlem sonucunda bir kenarı 6 cm olan yeni bir eşkenar üçgen ve kenarları 6-8-10 cm olan bir dik üçgen oluşur. İstenen açı, bu iki üçgenin tepe açılarının toplamı olan 60∘+90∘=150∘60^\circ + 90^\circ = 150^\circ değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında saat yönünün tersine 60∘60^\circ döndürerek AP′BAP'B üçgenini oluşturun.
∣AP′∣=6|AP'| = 6, ∣P′B∣=10|P'B| = 10 ve m(PAP′^)=60∘m(\widehat{PAP'}) = 60^\circ elde edilir.
Eşkenar üçgen sorularında döndürme yöntemiyle bilinen uzunlukları bir araya getirmek çözüm için stratejik bir yaklaşımdır.
2
PP ve P′P' noktalarını birleştirerek APP′APP' üçgenini analiz edin.
APP′APP' üçgeni, tepe açısı 60∘60^\circ olan bir ikizkenar üçgen olduğu için eşkenardır. Dolayısıyla ∣PP′∣=6|PP'| = 6 cm ve m(APP′^)=60∘m(\widehat{APP'}) = 60^\circ olur.
Aradaki açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgen her zaman eşkenardır.
3
BPP′BPP' üçgeninin kenar uzunluklarını inceleyin (∣BP∣=8|BP|=8, ∣PP′∣=6|PP'|=6, ∣P′B∣=10|P'B|=10).
62+82=36+64=100=1026^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 olduğundan, Pisagor teoreminin tersi gereği BPP′BPP' üçgeni dik üçgendir ve m(BPP′^)=90∘m(\widehat{BPP'}) = 90^\circ dir.
Kenar uzunlukları 6-8-10 olan bir üçgen dik üçgendir.
4
İstenen m(APB^)m(\widehat{APB}) açısını bulmak için parçaları toplayın.
m(APB^)=m(APP′^)+m(BPP′^)=60∘+90∘=150∘m(\widehat{APB}) = m(\widehat{APP'}) + m(\widehat{BPP'}) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ.
Toplam açı, oluşturulan iki açının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Bu soru, eşkenar üçgen içindeki bir noktanın uzaklıkları verildiğinde döndürme (rotasyon) yöntemi kullanılarak özel üçgenler (eşkenar ve dik üçgen) elde edilmesini ve Pisagor teoreminin uygulanmasını gerektirir.

İpuçları

1
Bu tür sorularda, verilen uzunlukları bir araya getirmek için üçgenin bir parçasını kesip döndürerek yapıştırmayı deneyin.
2
APCAPC üçgenini AA köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürerek, ABAB kenarı üzerine gelecek şekilde yeni bir üçgen oluşturun.
3
Döndürme sonucunda oluşan yeni üçgenin kenarlarını inceleyin. Bir eşkenar üçgen ve kenarları 6, 8, 10 olan bir üçgen göreceksiniz. 6-8-10 üçgeninin açısı size cevabı verecektir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çözülen, kare içinde alınan bir nokta ile ilgili 3-4-5 üçgeni sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir: △APB\triangle APB, △BPC\triangle BPC ve △CPA\triangle CPA içinde PP açısına bağlı kosinüs teoremleri yazılıp, toplamlarının 360∘360^\circ olması şartıyla denklem sistemi çözülebilir, ancak bu yöntem döndürme yöntemine göre çok daha uzun ve karmaşıktır.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 13Soru →

∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| olan ABCABC ikizkenar üçgeninde, [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretleniyor. AD⊥ACAD \perp AC, ∣BD∣=7|BD| = 7 cm ve ∣DC∣=25|DC| = 25 cm olduğuna göre, ∣AB∣|AB| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

20
İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikme tabanı ikiye böler (32/2=1632/2=16). Oluşan ADCADC dik üçgeninde (AD⊥ACAD \perp AC), Öklid'in dik kenar bağıntısı (∣AC∣2=∣CH∣⋅∣CD∣|AC|^2 = |CH| \cdot |CD|) kullanılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ikizkenar üçgeninde AA köşesinden [BC][BC] tabanına AHAH dikmesi indirilir.
HH noktası [BC][BC]'yi iki eşit parçaya böler.
İkizkenar üçgende tabana inilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.
2
Taban uzunluğu ve HH noktasının konumu hesaplanır.
∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣=7+25=32|BC| = |BD| + |DC| = 7 + 25 = 32 cm. Buradan ∣BH∣=∣HC∣=16|BH| = |HC| = 16 cm bulunur.
Kenarortay özelliği.
3
ADCADC dik üçgeninde Öklid bağıntısı uygulanarak ∣AC∣|AC| bulunur.
∣AC∣2=∣CH∣⋅∣CD∣⇒∣AC∣2=16⋅25=400⇒∣AC∣=20|AC|^2 = |CH| \cdot |CD| \Rightarrow |AC|^2 = 16 \cdot 25 = 400 \Rightarrow |AC| = 20 cm.
AD⊥ACAD \perp AC verildiği için △ADC\triangle ADC dik üçgendir ve AHAH hipotenüse ait yüksekliktir (Dik kenar bağıntısı).
4
∣AB∣|AB| uzunluğu belirlenir.
∣AB∣=∣AC∣=20|AB| = |AC| = 20 cm.
Üçgenin ikizkenar olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana inilen dikmenin kenarortay olması ve Öklid dik kenar bağıntısı.

İpuçları

1
İkizkenar üçgende AA köşesinden tabana bir dikme indirmeyi deneyin.
2
İndirdiğiniz dikme [BC][BC] tabanını iki eşit parçaya böler. ∣BD∣|BD| ve ∣DC∣|DC| değerlerini kullanarak bu parçaların uzunluklarını bulun.
3
AD⊥ACAD \perp AC bilgisini kullanarak, oluşan ADCADC üçgeninde Öklid bağıntılarını (Dik kenar kuralı: b2=k⋅ab^2 = k \cdot a) hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Öklid bağıntılarının ikizkenar üçgen içinde gizlendiği diğer soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

ADCADC üçgeninde AD=hAD=h, AC=bAC=b ve CD=aCD=a olsun. h2+b2=a2h^2 + b^2 = a^2 (Pisagor) ve ABCABC üçgeninden gelen yükseklik ilişkisi ile denklem sistemi kurulabilir, ancak Öklid en pratik yoldur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgen olmak üzere, ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| eşitliği veriliyor. [AC][AC] kenarı üzerinde alınan bir DD noktasından [BC][BC] tabanına indirilen dikmenin ayağı EE noktasıdır. ∣DE∣=4|DE| = 4 cm, ∣EC∣=2|EC| = 2 cm ve ∣BE∣=10|BE| = 10 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 454\sqrt{5}

Cevap

İstenen uzunluk 454\sqrt{5} cm'dir.
İkizkenar üçgenin tabanına indirilen dikmenin tabanı ikiye bölmesi özelliği ve oluşan dik üçgenler arasındaki 1'e 3 benzerlik oranı kullanılarak çözüm yapılır. ∣AC∣|AC| kenarı 656\sqrt{5}, ∣DC∣|DC| parçası 252\sqrt{5} bulunduğundan farkları 454\sqrt{5} olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA köşesinden [BC][BC] tabanına AHAH dikmesi çizilir.
ABCABC ikizkenar olduğundan HH noktası tabanı iki eşit parçaya böler: ∣BH∣=∣HC∣=10+22=6|BH| = |HC| = \frac{10+2}{2} = 6 cm.
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme aynı zamanda kenarortaydır.
2
DECDEC ve AHCAHC üçgenleri arasındaki benzerlik oranı bulunur.
Her iki üçgen de dik üçgendir ve CC açısı ortaktır. Benzerlik oranı k=∣HC∣∣EC∣=62=3k = \frac{|HC|}{|EC|} = \frac{6}{2} = 3 bulunur.
Açı-Açı benzerlik kuralı gereği dik üçgenler benzerdir.
3
Benzerlik oranı kullanılarak ∣AH∣|AH| ve ∣AC∣|AC| uzunlukları hesaplanır.
∣AH∣=3⋅∣DE∣=3⋅4=12|AH| = 3 \cdot |DE| = 3 \cdot 4 = 12 cm. △AHC\triangle AHC üçgeninde Pisagor ile ∣AC∣=62+122=36+144=180=65|AC| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} cm bulunur.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır.
4
∣DC∣|DC| uzunluğu hesaplanıp ∣AC∣|AC|'den çıkarılır.
△DEC\triangle DEC üçgeninde Pisagor ile ∣DC∣=22+42=20=25|DC| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} cm. Sonuç: ∣AD∣=∣AC∣−∣DC∣=65−25=45|AD| = |AC| - |DC| = 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} cm.
DD noktası [AC][AC] üzerindedir, bu nedenle fark alınır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik kenarortaydır ve oluşturulan dik üçgenlerde benzerlik ilişkileri kurulabilir.
Soru 15Soru →

ABCABC bir ikizkenar üçgen olmak üzere ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. BCBC tabanı üzerinde alınan bir PP noktasından [AB][AB] ve [AC][AC] kenarlarına dikmeler çizilmiştir. [AB][AB] kenarına inilen dikmenin uzunluğu 33 cm, [AC][AC] kenarına inilen dikmenin uzunluğu 55 cm ve m(BAC^)=30∘m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, ∣AC∣|AC| kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İkizkenar üçgenin eşit kenar uzunluğu 16 cm'dir.
İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. Verilen soruda bu dikmelerin toplamı 3+5=83 + 5 = 8 cm'dir. Bu yükseklik, tepe açısı 30∘30^\circ olan bir dik üçgenin dik kenarıdır. 30−60−9030-60-90 üçgeninde, 30∘30^\circ karşısındaki kenar hipotenüsün yarısı olduğundan, hipotenüs (yani üçgenin eşit kenarı) 2×8=162 \times 8 = 16 cm bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini uygula
hb=hc=3+5=8h_b = h_c = 3 + 5 = 8 cm
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara inilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlara ait yüksekliğe eşittir.
2
CC köşesinden [AB][AB] kenarına ait yüksekliği çiz ve oluşan dik üçgeni incele
Oluşan AHCAHC dik üçgeninde m(HAC^)=30∘m(\widehat{HAC}) = 30^\circ ve ∣HC∣=8|HC| = 8 cm'dir.
Yükseklik ABAB kenarına diktir ve tepe açısı 30∘30^\circ verilmiştir.
3
30-60-90 üçgeni özelliğini kullanarak hipotenüsü bul
∣AC∣=2×8=16|AC| = 2 \times 8 = 16 cm
30−60−9030-60-90 üçgeninde 30∘30^\circ'nin karşısındaki dik kenar (yükseklik), hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgen Taban Özelliği ve 30-60-90 Üçgeni

İpuçları

1
İkizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan kollara çizilen dikmelerin toplamı ile ilgili kuralı hatırlayın.
2
Bu dikmelerin toplamı, üçgenin eşit kenarlarından birine ait yüksekliği verir.
3
Eşit kenara ait yüksekliği çizdiğinizde oluşan dik üçgenin açısı 30 derecedir. 30-60-90 üçgeni özelliğini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer özelliği eşkenar üçgen için (içerideki noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamı) soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

AB=ACAB = AC olan bir ABCABC ikizkenar üçgeninin BCBC tabanı üzerinde bir PP noktası alınıyor. PP noktasından ABAB kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 44 cm, ACAC kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 66 cm'dir.

m(BAC^)=30∘m(\widehat{BAC}) = 30^\circ olduğuna göre, ABCABC üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

İkizkenar üçgen özelliğinden yan kenara ait yükseklik 10 cm bulunur, bu değer ve tepe açısı kullanılarak alan 100 cm² olarak hesaplanır.
İkizkenar üçgenin tabanından yan kenarlara inilen dikmelerin toplamı, yan kenara ait yüksekliği verir (h=4+6=10h = 4+6=10). Tepe açısı 30∘30^\circ olduğu için, yan kenar uzunluğu sin⁡(30∘)=h/kenar\sin(30^\circ) = h / \text{kenar} bağıntısından 20 cm bulunur. Alan ise (20×10)/2=100(20 \times 10) / 2 = 100 cm²'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkizkenar üçgen özelliğini hatırla ve uygula
hc=∣PD∣+∣PE∣=4+6=10h_c = |PD| + |PE| = 4 + 6 = 10 cm
İkizkenar üçgenin tabanı üzerindeki bir noktadan eşit kenarlara indirilen dikmelerin toplamı, eşit kenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.
2
Eşit kenar uzunluğunu (bb) bulmak için oluşan dik üçgeni kullan
sin⁡(30∘)=hcb⇒12=10b⇒b=20\sin(30^\circ) = \frac{h_c}{b} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{b} \Rightarrow b = 20 cm
Yükseklik çizildiğinde oluşan dik üçgende, 30∘30^\circ'nin karşısındaki kenar (yükseklik) hipotenüsün (eşit kenar) yarısıdır.
3
Üçgenin alanını hesapla
Alan = 12×taban×yu¨kseklik=12×20×10=100\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 20 \times 10 = 100 cm2\text{cm}^2
Kenar uzunluğu 20 cm ve bu kenara ait yükseklik 10 cm bulunduğuna göre standart alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar Üçgenin Yardımcı Eleman Özellikleri

İpuçları

1
İkizkenar bir üçgende taban üzerindeki bir noktadan eş kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, üçgenin eş kenarlarına ait yüksekliğe eşittir.
2
Yüksekliği 10 cm olarak bulduktan sonra, tepe açısı 30 derece olan dik üçgeni düşünün. 30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır.

Daha Fazla Pratik

Eşkenar üçgenin içindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmelerin toplamının yüksekliğe eşit olduğu durumla ilgili bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Alan Parçalama Yöntemi: Üçgeni AP doğrusu ile ikiye ayırın. Alan(ABP) + Alan(APC) = Alan(ABC). Yani (AB*4)/2 + (AC*6)/2 = Alan. AB=AC=x derseniz, Alan = 2x + 3x = 5x olur. Sinüslü alan formülünden Alan = 1/2 * x * x * sin(30) = x^2/4. Buradan 5x = x^2/4 eşitliği ile x=20 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Bir kenar uzunluğu aa birim olan ABCABC eşkenar üçgeninin [AC][AC] kenarı üzerinde, bu kenarı iki eş parçaya ayıran bir EE noktası işaretleniyor. [BC][BC] kenarı üzerinde ise ∣BC∣=4∣BD∣|BC| = 4|BD| eşitliğini sağlayan bir DD noktası alınıyor.

[AD][AD] ve [BE][BE] doğru parçaları KK noktasında kesiştiğine ve ABCABC üçgeninin alanı 6060 cm 2^2 olduğuna göre, ABKABK üçgeninin alanı kaç cm 2^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Menelaus teoremi veya alan oranları kullanılarak hesaplanan 12 cm 2^2 değeridir.
Verilen oranlar kullanılarak (Menelaus teoremi veya kütle merkezi metodu ile) kesişim noktasının BEBE doğru parçasını 2'ye 3 oranında böldüğü bulunur. ABEABE üçgeni tüm alanın yarısıdır (30). ABKABK üçgeni ise bu yarım alanın 2/5'i kadardır, bu da 12 cm 2^2 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenarları üzerindeki oranları belirle.
EE, [AC][AC]'nin orta noktası olduğundan ∣AE∣=∣EC∣=k|AE| = |EC| = k diyelim. ∣BC∣=4∣BD∣|BC| = 4|BD| olduğundan ∣BD∣=m|BD| = m ise ∣DC∣=3m|DC| = 3m olur.
Soruda verilen oranları matematiksel ifadelere dökmek çözümün temelidir.
2
Menelaus Teoremini △BCE\triangle BCE üzerinde, A−K−DA-K-D keseni için uygula veya kütle merkezi (mass points) yöntemini kullan.
Menelaus ile: CKKB⋅BDDC⋅CAAE=1\frac{CK}{KB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} = 1 (veya ilgili üçgene göre uyarlanmış hali). Alternatif olarak Kütle Merkezi Yöntemi ile: C=1C=1 birim kütle olsun. ∣AE∣=∣EC∣|AE|=|EC| olduğundan A=1A=1. ∣DC∣=3∣BD∣|DC|=3|BD| olduğundan B=3B=3.
KK noktasının [BE][BE] üzerindeki konumunu (oranını) bulmak için gereklidir.
3
BB ve EE noktalarındaki kütlelere göre KK noktasının [BE][BE]'yi bölme oranını hesapla.
EE noktasındaki yük A+C=2A+C=2. BB noktasındaki yük 33. [BE][BE] üzerinde denge şartı: 3⋅∣BK∣=2⋅∣KE∣⇒∣BK∣∣KE∣=233 \cdot |BK| = 2 \cdot |KE| \Rightarrow \frac{|BK|}{|KE|} = \frac{2}{3}. Yani ∣BK∣=25∣BE∣|BK| = \frac{2}{5} |BE|.
Alan paylaşımı taban uzunlukları oranıyla doğru orantılıdır.
4
Alan parçalama yöntemiyle S(ABK)S(ABK) alanını hesapla.
S(ABE)=12S(ABC)=30S(ABE) = \frac{1}{2} S(ABC) = 30 cm 2^2 (çünkü E orta nokta). △ABK\triangle ABK ve △ABE\triangle ABE aynı yüksekliğe sahiptir, alanları tabanları oranındadır: S(ABK)=∣BK∣∣BE∣⋅S(ABE)=25⋅30=12S(ABK) = \frac{|BK|}{|BE|} \cdot S(ABE) = \frac{2}{5} \cdot 30 = 12 cm 2^2.
Sonuca ulaşmak için parça alanın bütün alanla ilişkisini kurmak.

Anahtar Kavram

Üçgende Alan Paylaşımı ve Menelaus Teoremi

İpuçları

1
E noktası AC kenarının orta noktası olduğu için ABE üçgeninin alanı, tüm üçgenin alanının yarısıdır.
2
K noktasının BE üzerindeki yerini bulmak için Menelaus teoremini veya 'Maddesel Nokta' (kütle merkezi) yöntemini kullanmayı deneyin.
3
C köşesine 1, A köşesine 1 (E orta nokta olduğu için) ve B köşesine 3 (BC=4BD olduğu için) birim kütle vererek K noktasının denge konumunu bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, D noktası BC üzerinde dışta bir nokta olacak şekilde çözün (Dış Menelaus).

Alternatif Yöntem

D noktasından AC kenarına bir paralel çizerek benzer üçgenler (Kelebek Benzerliği) oluşturup oranları bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 18Soru →

Aşağıdaki ABCABC ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣=10|AB| = |AC| = 10 cm'dir. [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası alınmıştır.

∣BD∣=4|BD| = 4 cm ve ∣DC∣=12|DC| = 12 cm olduğuna göre, ∣AD∣|AD| uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2√13

Cevap

İstenen ∣AD∣|AD| uzunluğu 2√13 santimetredir.
İkizkenar üçgen özelliklerini kullanarak tabana inilen dikme tabanı ikiye böler (|BH|=8). Bu sayede yüksekliği (|AH|=6) ve aradaki farkı (|DH|=4) buluruz. Son adımda oluşturduğumuz küçük dik üçgende Pisagor uygulayarak doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A köşesinden [BC] tabanına [AH] dikmesi indirilir.
AH ⊥ BC
İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eş parçaya böler.
2
[BC] tabanının toplam uzunluğu bulunur ve ikiye bölünerek [BH] ve [HC] uzunlukları hesaplanır.
|BC| = 4 + 12 = 16 cm; |BH| = |HC| = 8 cm
Toplam taban 16 cm olduğundan, yükseklik ayağı H noktası bunu 8'er cm olarak böler.
3
ABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı ile yükseklik (|AH|) hesaplanır.
|AH|² + 8² = 10² ⇒ |AH|² = 100 - 64 = 36 ⇒ |AH| = 6 cm
6-8-10 özel dik üçgeni oluşur.
4
[DH] uzunluğu bulunur.
|DH| = |BH| - |BD| = 8 - 4 = 4 cm
H noktası B'den 8 cm uzaklıktadır, D noktası ise B'den 4 cm uzaklıktadır.
5
ADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı uygulanarak |AD| bulunur.
|AD|² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52 ⇒ |AD| = √52 = 2√13 cm
Dik kenarları 6 ve 4 olan üçgenin hipotenüsü hesaplanır.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende tepe açısından inilen dikmenin (yüksekliğin) aynı zamanda kenarortay olması özelliği ve Pisagor bağıntısının kullanımı.

İpuçları

1
İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen dikmenin özelliklerini hatırlayın.
2
A köşesinden [BC] kenarına bir dikme indirin. Bu dikme [BC] kenarını iki eşit parçaya bölecektir.
3
Oluşan 6-8-10 üçgenini kullanarak yüksekliği bulun, ardından yüksekliğin ayağı ile D noktası arasındaki mesafeyi (4 cm) kullanarak yeni bir Pisagor bağıntısı uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla eşkenar üçgen içinde alınan bir noktanın köşeye uzaklığının sorulduğu soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi ile de çözülebilir: ABC üçgeninde B açısının kosinüsü (8/108/10) bulunup ABD üçgeninde uygulanabilir, ancak dikme indirmek daha pratiktir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

Aşağıdaki ABCABC eşkenar üçgeninde [BC][BC] kenarı CC köşesi yönünde DD noktasına kadar uzatılmıştır. ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğuna göre, m(CAD^)m(\widehat{CAD}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Eşkenar üçgenin dış açısı ve ikizkenar üçgenin taban açıları özelliği kullanılarak sonuç 30∘30^\circ olarak bulunur.
Doğru cevap olan 30∘30^\circ değeri, ABCABC eşkenar üçgeninin bir dış açısının 120∘120^\circ olması ve bu açının ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| eşitliğiyle kurulan ACDACD ikizkenar üçgeninin tepe açısı olmasından kaynaklanır. İkizkenar üçgenin taban açıları (180−120)/2(180 - 120) / 2 işlemiyle 30∘30^\circ bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC eşkenar üçgeninin iç açılarını belirleyin.
m(ABC^)=m(BAC^)=m(ACB^)=60∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{ACB}) = 60^\circ
Eşkenar üçgenin tüm iç açıları birbirine eşittir ve 60∘60^\circ derecedir.
2
ACDACD üçgeninin CC köşesindeki dış açısını hesaplayın.
m(ACD^)=180∘−60∘=120∘m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
B,C,DB, C, D noktaları doğrusal olduğu için ACBACB ve ACDACD açıları birbirini 180∘180^\circ dereceye tamamlar.
3
ACDACD üçgeninin ikizkenar olma özelliğini kullanarak taban açılarını bulun.
m(CAD^)=m(CDA^)=(180∘−120∘)/2=30∘m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ
∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| verildiğinden ACDACD bir ikizkenar üçgendir ve taban açıları birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgenin bir iç açısının 60∘60^\circ olması ve ikizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının birbirine eşit olması.

İpuçları

1
Eşkenar üçgenin her bir iç açısının 60∘60^\circ olduğunu ve bu bilgiyi kullanarak komşu dış açıyı bulabileceğinizi unutmayın.
2
∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| bilgisi bize ACDACD üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu söyler. Bu üçgenin tepe açısı, eşkenar üçgenin dış açısına eşittir.
3
Dış açıyı 120∘120^\circ olarak bulduktan sonra, ACDACD ikizkenar üçgeninde taban açılarının toplamının 60∘60^\circ olması gerektiğini (180−120180 - 120) ve bu değerin ikiye bölünmesi gerektiğini görün.

Daha Fazla Pratik

İkizkenar üçgende tepe açısından indirilen dikmenin tabanı iki eş parçaya böldüğü sorularla pratiğinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir kuralı kullanılabilir. m(ACD^)=120∘m(\widehat{ACD}) = 120^\circ ise ve bu üçgen ikizkenar ise m(CAD^)+m(CDA^)=120∘m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA}) = 120^\circ değil, iç açılar toplamından gidilerek aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:45s
Soru 20Soru →

Kenar uzunlukları eşit olan bir ABCABC eşkenar üçgeninin iç bölgesinde bir PP noktası alınıyor. ∣PC∣=5|PC|=5 birim, ∣PB∣=12|PB|=12 birim ve ∣PA∣=13|PA|=13 birim olduğuna göre, m(BPC^)m(\widehat{BPC}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 150

Cevap

150
Verilen uzunluklar (5,12,135, 12, 13) Pisagor üçlüsünü çağrıştırsa da, bu üçgen doğrudan PP noktasında oluşmaz. Çözüm için BPCBPC üçgeni BB köşesi etrafında 60∘60^\circ döndürülür. Bu işlem sonucunda bir kenarı 12 olan eşkenar üçgen ve kenarları 5-12-13 olan bir dik üçgen yan yana gelir. Sorulan açı, eşkenar üçgenin 60∘60^\circ'lik açısı ile dik üçgenin 90∘90^\circ'lik açısının toplamı olan 150∘150^\circ'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Döndürme işlemi uygulayın
BPCBPC üçgenini BB köşesi etrafında saat yönünde 60∘60^\circ döndürerek BP′ABP'A üçgenini oluşturun.
Eşkenar üçgen sorularında, kenar uzunlukları verildiğinde 60∘60^\circ döndürme yaparak yeni bir eşkenar üçgen ve bilinen bir üçgen elde etmek standart bir çözüm yöntemidir.
2
Eşkenar üçgeni tespit edin
∣BP∣=12|BP|=12 ve döndürme açısı 60∘60^\circ olduğu için BPP′BPP' üçgeni eşkenar üçgendir. Dolayısıyla ∣PP′∣=12|PP'|=12 birim ve m(BP′P^)=60∘m(\widehat{BP'P})=60^\circ olur.
Tepe açısı 60∘60^\circ olan ikizkenar üçgen eşkenardır.
3
Oluşan diğer üçgenin kenarlarını inceleyin
Döndürme sonucunda ∣P′A∣=∣PC∣=5|P'A|=|PC|=5 birim olur. APP′APP' üçgeninin kenarları 55, 1212 (PP′PP') ve 1313 (APAP) birimdir.
Döndürme işlemi uzunlukları korur.
4
Dik açıyı bulun ve toplam açıyı hesaplayın
52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 olduğundan, APP′APP' üçgeni bir dik üçgendir ve hipotenüsü gören açı m(AP′P^)=90∘m(\widehat{AP'P})=90^\circ'dir. İstenen açı m(BPC^)=m(BP′A^)=60∘+90∘=150∘m(\widehat{BPC}) = m(\widehat{BP'A}) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ bulunur.
Pisagor teoreminin tersi gereği kenarları 5-12-13 olan üçgen dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Eşkenar üçgen içindeki nokta problemlerinde döndürme (rotasyon) yöntemi

İpuçları

1
Bu tür sorularda, üçgenin içinde eşkenar üçgen oluşturacak şekilde bir döndürme (rotasyon) işlemi uygulamayı deneyin.
2
BPCBPC üçgenini BB köşesi etrafında, BCBC kenarı BABA kenarı üzerine gelecek şekilde 60∘60^\circ döndürün.
3
Döndürme sonrası oluşan yeni P′P' noktası için BPP′BPP' üçgeninin eşkenar, APP′APP' üçgeninin ise kenarlarını kontrol ederek (5-12-13) dik üçgen olduğunu görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguyu kare içinde (90 derece döndürme) deneyin.

Alternatif Yöntem

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir ancak çok daha karmaşık işlem gerektirir (PP etrafındaki açılar toplamı 360∘360^\circ olacak şekilde 3 denklem kurulur).
Tahmini Süre:4m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki