Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir kamu kurumundaki iki farklı hizmet birimine gelen günlük başvuru sayıları XX ve YY rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu iki birimin çalışma süreçlerinin birbirinden tamamen bağımsız olduğu bilindiğine göre, ortak olasılık fonksiyonu ile marjinal olasılık fonksiyonları arasındaki ilişki hakkında aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. Ortak olasılık fonksiyonu, her xx ve yy değeri için marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımına (f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)) eşittir.Cevap
  2. B
    Kovaryans değerinin sıfıra eşit olması, bu değişkenlerin bağımsız olduğunu kanıtlamak için tek başına yeterli bir şarttır.
  3. C
    Bağımsız iki rastgele değişkenin temsil ettiği olaylar aynı zamanda mutlaka ayrık (mutually exclusive) olaylardır.
  4. D
    Bağımsız değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, bu değişkenlerin beklenen değerlerinin toplamına (E[XY]=E[X]+E[Y]E[XY] = E[X] + E[Y]) eşittir.
  5. E
    Ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının toplanması (f(x,y)=fX(x)+fY(y)f(x,y) = f_X(x) + f_Y(y)) yoluyla elde edilir.

Cevap

İstatistiksel bağımsızlık durumunda ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımına eşittir.
İstatistik teorisine göre, XX ve YY rastgele değişkenlerinin bağımsız olabilmesi için gerekli ve yeterli olan temel şart, bu değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonunun (PDF veya PMF), kendi marjinal fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabilmesidir. Bu durum, değişkenlerin tanımlı olduğu destek kümesinin de bir Kartezyen çarpım (dikdörtgen bölge) formunda olmasını gerektirir.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık tanımını hatırlayın.
f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)
İki rastgele değişkenin bağımsız olması, birinin aldığı değerin diğeri hakkında hiçbir bilgi vermemesi demektir.
2
Bağımsızlığın beklenen değer üzerindeki etkisini kontrol edin.
E[XY]=E[X]⋅E[Y]E[XY] = E[X] \cdot E[Y] ve Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0
Bağımsızlık, kovaryansın sıfır olmasını gerektirir ancak kovaryansın sıfır olması bağımsızlık için yeterli değildir.
3
Seçeneklerdeki matematiksel ifadeleri karşılaştırın.
Doğru ifade marjinallerin çarpımıdır.
Bağımsızlık, hem olasılık fonksiyonları hem de birikimli dağılım fonksiyonları düzeyinde çarpımsal bir ayrışma gerektirir.

Anahtar Kavram

İstatistiksel Bağımsızlık ve Ortak Olasılık Dağılımları

İpuçları

1
Bağımsızlığın olasılıklar üzerindeki temel çarpım kuralını hatırlayın: P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B).

Daha Fazla Pratik

Kovaryansın sıfır olduğu ancak bağımsızlığın sağlanmadığı (örneğin Y=X2Y=X^2 ve XX değişkeninin sıfır etrafında simetrik olduğu) durumları inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı