Orman Genel Müdürlüğü, belirli bir bölgedeki çam ağaçlarında görülen bir mantar hastalığın… — KPSS İstatistik

Orman Genel Müdürlüğü, belirli bir bölgedeki çam ağaçlarında görülen bir mantar hastalığının yaygınlığını belirlemek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Araştırma bölgesi, her birinde eşit sayıda ve $M = 20$ adet ağaç bulunan toplam $N = 150$ parsele (kümeye) ayrılmıştır.

Bu parseller arasından basit rastgele örnekleme ile $n = 5$ parsel seçilmiş ve seçilen parsellerdeki hastalıklı ağaç sayıları ( $y_i$ ) aşağıdaki gibi tespit edilmiştir:

Parsel ( $i$ )	Hastalıklı Ağaç Sayısı ( $y_i$ )
1	12
2	14
3	15
4	17
5	12

Buna göre, bölgedeki toplam hastalıklı ağaç sayısına ilişkin tahmin ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

$2.100$ ve $19.575$ Cevap
B
$2.100$ ve $20.250$
C
$2.100$ ve $15.660$
D
$2.100$ ve $130,5$
E
$42.000$ ve $19.575$

Cevap

Bölgedeki toplam hastalıklı ağaç sayısı tahmini 2.100 ve bu tahminin varyansı 19.575'tir.

Kitle toplamı tahmini için kümelerin örneklem ortalaması

14

bulunup toplam küme sayısı olan

N=150

ile çarpılarak

2.100

elde edilmiştir. Bu tahminin varyansı ise

N^2 \times (1-f) \times \frac{s_b^2}{n}

formülü üzerinden adım adım hesaplandığında

150^2 \times (1 - \frac{5}{150}) \times \frac{4,5}{5} = 19.575

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Örneklemdeki küme toplamlarının ortalamasını (

\bar{y}

) bularak kitle toplamını (

\hat{Y}

) tahmin etme.

\bar{y} = 14

\hat{Y} = 2.100

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamı, küme ortalamalarının kitledeki toplam küme sayısı (N) ile çarpımıyla elde edilir.

\bar{y} = \frac{12 + 14 + 15 + 17 + 12}{5} = 14

\Rightarrow

\hat{Y} = 150 \times 14 = 2.100

Örnekleme ait küme varyansını (

s_b^2

) hesaplama.

s_b^2 = 4,5

Varyans, her bir gözlemin ortalamadan farklarının kareleri toplamının

(n-1)

'e bölünmesiyle bulunur.

s_b^2 = \frac{(-2)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (-2)^2}{5 - 1} = \frac{18}{4} = 4,5

Sonlu kitle düzeltme (SKD) çarpanını ve toplamın varyansını (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplama.

\hat{V}(\hat{Y}) = 19.575

SKD (1-f) =

1 - \frac{5}{150} = \frac{29}{30}

. Toplamın varyansı

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \times (1 - f) \times \frac{s_b^2}{n} = 150^2 \times \frac{29}{30} \times \frac{4,5}{5} = 22.500 \times \frac{29}{30} \times 0,9 = 19.575

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Eşit Büyüklüklü Küme Örneklemesinde Toplam Tahmini ve Varyansı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru