Examkin

Soru

Zorluk: ZorMarjinal Dağılımlar

X=[X1X2X3]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix} rasgele vektörü, çok değişkenli normal dağılıma X∼N3(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) sahiptir. Parametreler aşağıdaki gibi verilmiştir:

μ=[42−3],Σ=[90304−13−15] \boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}

Y=[X1X3]\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_3 \end{bmatrix} olarak tanımlanan marjinal vektörün dağılımı ve marjinal normallik kavramı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Y∼N2([4−3],[9335])\mathbf{Y} \sim N_2\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\right)'dir. Ancak teorik olarak, herhangi iki rastgele değişkenin ayrı ayrı marjinal normal dağılıma sahip olması, ortak dağılımlarının çok değişkenli normal olmasını her zaman garanti etmez.Cevap
  2. B
    Y∼N2([4−3],[9335])\mathbf{Y} \sim N_2\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\right)'dir. Ayrıca genel bir kural olarak, bileşenleri marjinal olarak normal dağılan her rasgele vektör, kesinlikle çok değişkenli ortak normal dağılıma sahiptir.
  3. C
    Y\mathbf{Y}'nin varyans-kovaryans matrisi, X2X_2 değişkeni dışarıda bırakıldığı için koşullu varyans formülü ile hesaplanmalıdır ve bu değer [9334.75]\begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 4.75 \end{bmatrix} matrisine eşittir.
  4. D
    Marjinal matrisler oluşturulurken daima köşegen üzerindeki ardışık ilk elemanlar temel alınır; bu nedenle Y\mathbf{Y}'nin dağılımı ardışık indekslemeyle N2([42],[9004])N_2\left(\begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\right) olarak bulunur.
  5. E
    Y=CX\mathbf{Y} = \mathbf{C}\mathbf{X} doğrusal dönüşümü ile Y\mathbf{Y}'nin varyans-kovaryans matrisi CΣC′\mathbf{C}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{C}' formülüyle hesaplanırken, ΣC′C\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{C}'\mathbf{C} eşitliği varsayılarak matris çarpımının değişme özelliğinden faydalanılır.

Cevap

Y\mathbf{Y} vektörünün dağılımı 1. ve 3. satır/sütun elemanlarının doğrudan alınmasıyla elde edilen N2([4−3],[9335])N_2\left(\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\right)'dir ve marjinal normallik tek başına ortak normalliği garanti etmez.
Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir X\mathbf{X} vektörünün herhangi bir alt vektörünün marjinal dağılımı da normaldir. Dağılımın parametreleri, orijinal μ\boldsymbol{\mu} ve Σ\boldsymbol{\Sigma} matrislerinden hedeflenen değişkenlerin satır ve sütunlarının doğrudan alınmasıyla (parçalanmış alt matrisler olarak) bulunur. X1X_1 ve X3X_3 için indeksler 1 ve 3'tür; bu değerler çekildiğinde ortalama vektörü [4,−3]′[4, -3]' ve kovaryans matrisi [9335]\begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} olarak elde edilir. İkinci kısımdaki teorik bilgi de doğrudur: Çok değişkenli normallik marjinal normalliği sağlarken, bunun tersi (marjinallerin normal olmasının ortak normalliği garanti etmesi) geçerli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortalama vektöründen X1 ve X3 için marjinal ortalamaların seçilmesi.
μY=[4−3]\boldsymbol{\mu}_Y = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix} vektörünün elde edilmesi.
Marjinal dağılımın ortalaması, çok değişkenli ortak ortalama vektörünün sadece ilgili değişkenlere ait elemanlarından oluşur.
2
Kovaryans matrisinden X1 ve X3'e ait varyans ve kovaryans değerlerinin çıkarılması.
1. ve 3. satır ile 1. ve 3. sütunların kesişimi olan ΣY=[9335]\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} alt matrisinin bulunması.
Marjinal varyans-kovaryans matrisi, ortak varyans-kovaryans matrisinin ilgili satır ve sütunlarının seçilmesiyle doğrudan elde edilir; ek bir dönüşüm veya koşullama yapılmaz.
3
Marjinal ve ortak normallik ilişkisinin teorik olarak değerlendirilmesi.
Marjinal normalliğin, ortak (çok değişkenli) normalliği kesin olarak garanti etmediği kuralının hatırlanması.
Bağımlılık yapısı doğrusal olmayan ancak tek başlarına normal dağılan rassal değişkenlerin ortak dağılımları çok değişkenli normal dağılım formuna uymayabilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Marjinal Vektörlerin Çıkarımı ve Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Marjinal Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru