Examkin

Soru

Zorluk: ZorMarjinal Dağılımlar
Dört boyutlu X=(X1,X2,X3,X4)′\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, X_3, X_4)' rasgele vektörü, μ=[2,4,6,8]′\boldsymbol{\mu} = [2, 4, 6, 8]' ortalama vektörü ve
Σ=[52−132401−10623127] \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 6 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 7 \end{bmatrix}
kovaryans matrisi ile çok değişkenli normal dağılıma sahiptir.

Bir araştırmacı, bu dağılımdan Y=(X2,X4)′\boldsymbol{Y} = (X_2, X_4)' alt vektörünün marjinal dağılımını incelemiş ve bu alt vektörün kovaryans matrisini ΣY=[4227]\boldsymbol{\Sigma}_{\boldsymbol{Y}} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 7 \end{bmatrix} olarak hesaplamıştır. Ayrıca araştırmacı, raporunda şu genel ifadeye yer vermiştir:
'İncelediğimiz X2X_2 ve X4X_4 değişkenlerinin her biri tek başına normal dağıldığına göre, istatistik teorisi bağlamında, bileşenleri marjinal olarak normal dağılan her rasgele vektörün ortak dağılımı da zorunlu olarak çok değişkenli normal dağılımdır.'

Buna göre, araştırmacının yaptığı matris hesaplaması ve öne sürdüğü teorik çıkarım hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. Matris hesaplaması yanlıştır, doğru matris [4117]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} şeklindedir; ayrıca marjinal normallik ortak normalliği garanti etmediği için teorik çıkarımı da hatalıdır.Cevap
  2. B
    Matris hesaplaması doğrudur; ancak marjinal normallik ortak normalliği garanti etmediği için teorik çıkarımı hatalıdır.
  3. C
    Matris hesaplaması yanlıştır, doğru matris [4117]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} şeklindedir; ancak marjinal normalliğin ortak normalliği sağladığı kabul edildiğinden teorik çıkarımı geçerlidir.
  4. D
    Matris hesaplaması doğrudur ve marjinal normalliğin ortak normalliği her zaman sağladığı kuralına dayandığı için teorik çıkarımı da geçerlidir.
  5. E
    Matris hesaplaması yanlıştır, doğru matris [5337]\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} şeklindedir; ayrıca marjinal normallik yalnızca kovaryanslar sıfır olduğunda ortak normalliği sağladığından teorik çıkarımı hatalıdır.

Cevap

Araştırmacının hem varyans-kovaryans matrisini [4117]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} yerine yanlış hesapladığını hem de marjinal normalliğin ortak normalliği sağladığına dair hatalı bir teorik çıkarım yaptığını belirten seçenek doğrudur.
Araştırmacının hesapladığı matris yanlıştır. Y=(X2,X4)′\boldsymbol{Y} = (X_2, X_4)' alt vektörünün marjinal kovaryans matrisi, ana matristeki σ22\sigma_{22}, σ24\sigma_{24}, σ42\sigma_{42} ve σ44\sigma_{44} elemanlarından oluşur. Bu elemanlar sırasıyla 4, 1, 1 ve 7 olduğundan doğru matris [4117]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} olmalıdır. Teorik açıdan ise, çok değişkenli normal dağılımda ortak normallik marjinal normalliği gerektirirken, marjinal normallik ortak normalliği garanti etmez. Dolayısıyla araştırmacının genel çıkarımı da yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Alt vektörün marjinal kovaryans matrisinin elemanlarını belirleme
Matrisin satır ve sütun indeksleri X2X_2 ve X4X_4 için sırasıyla (2,2), (2,4), (4,2) ve (4,4) olarak tespit edilir.
Marjinal dağılımın kovaryans matrisi, ana Σ\boldsymbol{\Sigma} matrisinin ilgili satır ve sütunlarının kesişimiyle doğrudan elde edilir.
2
Doğru matrisi hesaplama ve araştırmacının hatasını ortaya koyma
Doğru matrisin [4117]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 7 \end{bmatrix} olduğu bulunur. Araştırmacı yanlışlıkla σ12\sigma_{12} veya farklı bir elemanı seçerek hesaplama hatası yapmıştır.
Ana matristen σ22=4\sigma_{22}=4, σ44=7\sigma_{44}=7, ve σ24=σ42=1\sigma_{24}=\sigma_{42}=1 değerleri matristeki doğru yerlerine yerleştirilmelidir.
3
Teorik iddiayı istatistiksel olarak değerlendirme
Araştırmacının 'marjinal normallik ortak normalliği gerektirir' şeklindeki teorik çıkarımının hatalı olduğu belirlenir.
İstatistik teorisine göre ortak dağılımın normal olması marjinal dağılımların normal olmasını sağlar, ancak marjinal normallik hiçbir zaman ortak normalliğin garantisi değildir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılımda alt vektörlerin varyans-kovaryans matrisinin bulunması ve ortak-marjinal normallik ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Marjinal Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru