Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMarjinal Dağılımlar

X=(X1,X2,X3)T\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T rasgele vektörünün bileşenlerinin her birinin marjinal olarak standart normal dağılıma sahip olduğu, yani i=1,2,3i=1,2,3 için Xi∼N(0,1)X_i \sim N(0, 1) olduğu bilinmektedir. Ayrıca bu değişkenler arasındaki korelasyon matrisi

R=[10ρ010ρ01] \mathbf{R} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \rho \\ 0 & 1 & 0 \\ \rho & 0 & 1 \end{bmatrix}

olarak verilmiştir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    X\mathbf{X} rasgele vektörü, üç değişkenli ortak normal dağılıma sahiptir.
  2. B
    Korelasyon matrisine göre Cov⁡(X1,X2)=0\operatorname{Cov}(X_1, X_2) = 0 olduğundan, X1X_1 ve X2X_2 değişkenleri her zaman istatistiksel olarak bağımsızdır.
  3. C
    Eğer X\mathbf{X} vektörü çok değişkenli ortak normal dağılıma sahipse, X1X_1'in X3X_3 verildiğindeki koşullu varyansı Var⁡(X1∣X3)=1+ρ2\operatorname{Var}(X_1|X_3) = 1 + \rho^2 olur.
  4. Eğer X\mathbf{X} vektörü çok değişkenli ortak normal dağılıma sahipse, X2X_2 değişkeni (X1,X3)T(X_1, X_3)^T alt vektöründen istatistiksel olarak bağımsızdır.Cevap
  5. E
    Bileşenleri marjinal olarak normal dağıldığından, sıfır vektöründen farklı her sabit a\mathbf{a} vektörü için aTX\mathbf{a}^T\mathbf{X} doğrusal kombinasyonu tek değişkenli normal dağılır.

Cevap

Ortak normal dağılım koşulu sağlandığında, aralarındaki kovaryans sıfır olan alt vektörlerin bağımsız olduğu ifade edilen önerme kesinlikle doğrudur.
Çok değişkenli ortak normal dağılım teorisinde güçlü bir bağımsızlık kuralı vardır: Eğer bir rasgele vektör ortak normal dağılıma sahipse ve bu vektörün herhangi iki alt parçası (alt vektörleri) arasındaki kovaryans sıfır ise, bu iki parça kesinlikle bağımsızdır. Korelasyon matrisine göre X2X_2 değişkeni hem X1X_1 hem de X3X_3 ile sıfır korelasyona sahiptir. 'Eğer ortak normal dağılıma sahipse...' şartıyla başlayan doğru seçenekte, kovaryansın sıfır matrisi olmasından ötürü X2X_2'nin (X1,X3)T(X_1, X_3)^T vektöründen bağımsız olduğu sonucu matematiksel olarak kusursuzdur.

Adım Adım Çözüm

1
Marjinal ve ortak normallik ilişkisinin teorik sınırlarını analiz et
Sadece marjinal dağılımların normal olması, vektörün ortak normal dağıldığını kanıtlamaz.
Marjinal normallik ortak normallik için gerekli ancak yeterli bir koşul değildir. Bu nedenle ortak normallik kesin olarak varsayılamaz.
2
Korelasyon matrisini ve bağımsızlık kuralını değerlendir
Matriste X1X_1 ve X2X_2 arasındaki korelasyon sıfır olsa da, ortak normallik bilinmediğinden bağımsız oldukları kesin değildir.
Bağımsızlık = Sıfır Korelasyon kuralı, ancak ortak normal dağılım yapısı mevcutsa çift yönlü çalışır.
3
Koşullu varyans önermesini formülle test et
Eğer ortak normallik varsayılırsa Var⁡(X1∣X3)=Σ11−Σ13Σ33−1Σ31\operatorname{Var}(X_1|X_3) = \Sigma_{11} - \Sigma_{13}\Sigma_{33}^{-1}\Sigma_{31} formülünden 1−ρ(1)−1ρ=1−ρ21 - \rho(1)^{-1}\rho = 1 - \rho^2 bulunur.
Formül 1−ρ21 - \rho^2 sonucunu verirken, şıkta 1+ρ21 + \rho^2 olarak yanlış ifade edilmiştir.
4
Ortak normallik varsayımı altındaki alt vektör bağımsızlığını kontrol et
X2X_2 ile (X1,X3)T(X_1, X_3)^T arasındaki kovaryans matrisi [00]\begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} olur. Ortak normallik şartıyla birleştirildiğinde bu, kesin bir bağımsızlık anlamına gelir.
Ortak normal dağılan bir vektörde, kovaryansı sıfır olan herhangi iki alt vektör (blok parçalanış) birbirlerinden tam bağımsızdır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Marjinal Dağılımlar ve Blok Bağımsızlık
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Marjinal Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru