Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMarjinal Dağılımlar

pp boyutlu X\mathbf{X} rasgele vektörü, qq ve p−qp-q boyutlu iki alt vektöre parçalanarak X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} şeklinde tanımlanmıştır. Bu vektörün beklenen değer vektörü μ=[μ1μ2]\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{\mu}_2 \end{bmatrix} ve varyans-kovaryans matrisi Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix} olarak verilmiştir.

Çok değişkenli normal dağılım ve bu dağılımın marjinal özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. X\mathbf{X} vektörü çok değişkenli normal dağılıma sahipse, X1\mathbf{X}_1 alt vektörü Nq(μ1,Σ11)N_q(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11}) dağılımına sahiptir; ancak X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2'nin ayrı ayrı marjinal normal dağılıma sahip olması, X\mathbf{X} vektörünün ortak çok değişkenli normal dağılmasını tek başına garanti etmez.Cevap
  2. B
    X\mathbf{X} vektörü çok değişkenli normal dağılıma sahipse, X1\mathbf{X}_1'in marjinal dağılımı da normaldir ve bu marjinal dağılımın varyans-kovaryans matrisi Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} eşitliği ile hesaplanır.
  3. C
    X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 alt vektörlerinin her ikisi de marjinal olarak normal dağılıma sahipse, X\mathbf{X} vektörü kesinlikle çok değişkenli normal dağılır ve X1\mathbf{X}_1'in marjinal varyans-kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} olur.
  4. D
    X\mathbf{X} vektörü çok değişkenli normal dağılıma sahipse, X1\mathbf{X}_1'in marjinal varyans-kovaryans matrisi Σ12Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{21} çarpımıyla elde edilir ve matris çarpımındaki değişme özelliğinden dolayı bu değer Σ21Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{21}\boldsymbol{\Sigma}_{12} ile aynıdır.
  5. E
    X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2 bileşenleri marjinal olarak normal dağıldığında X\mathbf{X} ortak vektörü daima çok değişkenli normal dağılır ve bu durumda X1\mathbf{X}_1'in marjinal varyans-kovaryans matrisi Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} blok matrisine eşittir.

Cevap

Ortak normalliğin marjinal normalliği sağladığı, ancak marjinal normalliğin ortak normalliği tek başına garanti etmediği ifade.
Çok değişkenli normal dağılımın temel bir teoremine göre, ortak dağılım normal ise marjinal dağılımlar da kesinlikle normaldir ve parametreler doğrudan beklenen değer vektörü ile varyans-kovaryans matrisinin ilgili blok parçalarından (burada μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11}) alınır. Ancak bunun tersi doğru değildir; bileşenlerin ayrı ayrı marjinal dağılımlarının normal olması, bu değişkenlerin ortak dağılımının çok değişkenli normal olduğunu garanti etmez.

Adım Adım Çözüm

1
Çok değişkenli normal dağılımın marjinal dağılım teoreminin incelenmesi.
Eğer X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) ise, parçalanmış vektörlerden X1\mathbf{X}_1'in dağılımı Nq(μ1,Σ11)N_q(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11}) olur.
Ortak dağılım normal olduğunda, tüm marjinal ve koşullu dağılımlar da normaldir ve ilgili parametreler vektör ile matrisin ilgili bloklarından doğrudan alınır.
2
Marjinal normallikten ortak normalliğe geçiş varsayımının değerlendirilmesi.
Bileşenlerin (örneğin X1\mathbf{X}_1 ve X2\mathbf{X}_2) ayrı ayrı normal dağılması, ortak dağılımın çok değişkenli normal olmasını gerektirmez.
Ortak normal dağılım için, bileşenlerin her türlü doğrusal kombinasyonunun normal dağılması şarttır.
3
Seçeneklerdeki matris ve indeks hatalarının tespit edilmesi.
Marjinal varyans-kovaryans matrisi doğrudan Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} bloğudur. Karmaşık matris işlemleri veya değişme özelliği ile hesaplanmaz.
Çeldiricilerdeki kavram yanılgılarını (koşullu varyans formülü ile karıştırma gibi) belirlemek için temel matris cebiri ve özellikleri hatırlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Marjinal Dağılımlar
Bu soruyu puanla

Konular

Marjinal Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru