Examkin

Soru

Zorluk: KolayMarjinal Dağılımlar

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir X\mathbf{X} rasgele vektörü, X=[X1X2]\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} şeklinde iki alt vektöre parçalanmıştır. Bu vektörün parametreleri μ=[μ1μ2]\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mu}_1 \\ \boldsymbol{\mu}_2 \end{bmatrix} ve Σ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix} olarak verildiğine göre, X1\mathbf{X}_1 alt vektörünün marjinal dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. X1∼N(μ1,Σ11)\mathbf{X}_1 \sim N(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11})Cevap
  2. B
    X1∼N(μ2,Σ22)\mathbf{X}_1 \sim N(\boldsymbol{\mu}_2, \boldsymbol{\Sigma}_{22})
  3. C
    X1∼N(μ1,Σ12)\mathbf{X}_1 \sim N(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{12})
  4. D
    X1∼N(μ1,Σ11−Σ12Σ22−1Σ21)\mathbf{X}_1 \sim N(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21})
  5. E
    X1\mathbf{X}_1 her zaman normal dağılım göstermez, dağılım yapısı Σ12\boldsymbol{\Sigma}_{12} değerine bağlıdır.

Cevap

X1\mathbf{X}_1 alt vektörünün marjinal dağılımı, ilgili alt ortalama vektörü μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve alt kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} ile tanımlanan N(μ1,Σ11)N(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_{11}) dağılımıdır.
Çok değişkenli normal dağılımın (MVN) en önemli özelliklerinden biri, bir vektörün alt bileşenlerinin (marjinal dağılımlarının) her zaman normal dağılmasıdır. Parçalanmış matris notasyonunda, X1\mathbf{X}_1 alt vektörüne karşılık gelen ortalama μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve varyans-kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} bloklarıdır. Bu nedenle dağılım doğrudan bu parametrelerle ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Vektör parçalanışını analiz etme
X\mathbf{X} vektörü pp boyutlu ise ve X1\mathbf{X}_1 vektörü q<pq < p boyutlu ise, matris yapısı bu boyutlara göre ayrılır.
Hangi parametrelerin hangi alt vektöre ait olduğunu belirlemek için gereklidir.
2
Çok değişkenli normal dağılım teoremini uygulama
Teorem: Eğer X∼Np(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) ise, herhangi bir alt küme Xa\mathbf{X}_a marjinal olarak N(μa,Σaa)N(\boldsymbol{\mu}_a, \boldsymbol{\Sigma}_{aa}) dağılımına sahiptir.
Marjinal dağılımın türünü ve parametrelerini doğrudan belirleyen temel özelliktir.
3
Parametreleri eşleştirme
X1\mathbf{X}_1 için ortalama μ1\boldsymbol{\mu}_1 ve varyans-kovaryans matrisi Σ11\boldsymbol{\Sigma}_{11} olarak seçilir.
Parçalanmış matris notasyonunda köşegen üzerindeki ilk blok marjinal yapıyı verir.

Anahtar Kavram

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektörün herhangi bir alt kümesi (marjinal dağılımı) de normal dağılım gösterir. Ancak bunun tersi her zaman doğru değildir; marjinalleri normal olan her vektör çok değişkenli normal dağılmayabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Marjinal Dağılımlar

Bu konudan daha fazla soru