Bir teknik servis istasyonuna gelen cihazların varış süreci, sistemdeki cihaz sayısına (n)… — KPSS İstatistik

Bir teknik servis istasyonuna gelen cihazların varış süreci, sistemdeki cihaz sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci ile modellenmektedir. Varış hızları $\lambda_n = 4 - n$ birim/saat ( $n=0, 1, 2, 3$ ) ve hizmet hızı her cihaz için sabit $\mu = 2$ birim/saat olarak verilmiştir. Sistemin maksimum kapasitesi 3 birimdir. Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu varsayıldığında, sistemde tam olarak 2 cihaz bulunma olasılığı ( $P_2$ ) kaçtır?

A
$1/9$
B
$2/9$
$1/3$ Cevap
D
$1/4$
E
$3/8$

Cevap

Sistemde tam olarak 2 cihaz bulunma olasılığı

1/3

'tür.

Denge denklemleri kurulduğunda

P_1 = 2P_0

P_2 = 3P_0

P_3 = 3P_0

bağıntıları elde edilir. Bu olasılıkların toplamı (

P_0 + 2P_0 + 3P_0 + 3P_0

) 1'e eşitlendiğinde

P_0 = 1/9

olarak bulunur. İstenen durum olan sistemde 2 cihaz bulunma olasılığı

P_2 = 3P_0

olduğundan, sonuç

3/9 = 1/3

olur.

Adım Adım Çözüm

Denge denklemlerini kullanarak her bir durum olasılığını

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu}P_0 = \frac{4}{2}P_0 = 2P_0

;

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu}P_1 = \frac{3}{2}(2P_0) = 3P_0

;

P_3 = \frac{\lambda_2}{\mu}P_2 = \frac{2}{2}(3P_0) = 3P_0

Doğum-ölüm süreçlerinde

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}P_{n-1}

bağıntısı geçerlidir.

Toplam olasılık kuralını (normalizasyon) uygulayarak

P_0

değerini bulun.

P_0 + 2P_0 + 3P_0 + 3P_0 = 1 \Rightarrow 9P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 1/9

Sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı 1'e eşit olmalıdır.

İstenen

P_2

değerini hesaplayın.

P_2 = 3P_0 = 3 \times (1/9) = 3/9 = 1/3

Birinci adımda bulunan

P_2 = 3P_0

ilişkisi kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge Denklemleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru