Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir veri terminalinde işlem gören taleplerin varış ve hizmet süreçleri bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) ile modellenmiştir. Terminalde aynı anda en fazla 2 talep bulunabilmektedir. Sisteme talep geliş hızları sistemdeki talep sayısına (nn) bağlı olarak λ0=6\lambda_0 = 6 birim/saat ve λ1=3\lambda_1 = 3 birim/saat olarak belirlenmiştir. Taleplerin hizmet görme hızı ise sistemdeki birim sayısından bağımsız olarak μ=6\mu = 6 birim/saat sabittir. Buna göre, sistemin dengede (steady-state) olduğu bir anda terminalde hiç talep bulunmama olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. 0,40Cevap
  2. B
    0,50
  3. C
    0,25
  4. D
    0,20
  5. E
    0,33

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.
Denge denklemlerine göre sistemin 1 birim içerme olasılığı P1=(6/6)P0=P0P_1 = (6/6)P_0 = P_0 ve 2 birim içerme olasılığı P2=(3/6)P1=0,5P0P_2 = (3/6)P_1 = 0,5P_0 olarak bulunur. Toplam olasılık kuralı (P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1) uygulandığında P0+P0+0,5P0=2,5P0=1P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 2,5P_0 = 1 eşitliğinden P0=0,40P_0 = 0,40 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Denge (steady-state) denklemleri kullanılarak her durumun olasılığını P0P_0 cinsinden ifade ediniz.
P1=λ0μ1P0=66P0=P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{6}{6} P_0 = P_0 ve P2=λ1μ2P1=36P1=0,5P0P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{3}{6} P_1 = 0,5 P_0
Doğum-ölüm süreçlerinde her durum arasındaki geçiş dengesi Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} formülü ile kurulur.
2
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayınız.
P0+P1+P2=1⇒P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1
Kesikli bir olasılık dağılımında tüm olası durumların toplamı 1 olmalıdır.
3
Elde edilen denklemde P0P_0 değerini yalnız bırakarak çözünüz.
2,5P0=1⇒P0=12,5=0,402,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,40
Matematiksel sadeleştirme sonucunda sistemin boş olma olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge Durumu Olasılıkları
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru