Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kuyruk sisteminde doğum-ölüm süreci geçerlidir. Sistemdeki birim sayısına ( $n$ ) bağlı olarak varış hızları $\lambda_n$ ve hizmet hızları $\mu_n$ aşağıda tanımlanmıştır:

\lambda_n = \begin{cases} 2, & n=0 \\ 1, & n=1 \\ 0, & n \geq 2 \end{cases}

\mu_n = \begin{cases} 2, & n=1 \\ 2, & n=2 \end{cases}

Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı ( $P_2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,2

0,4

0,5

0,25

0,1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2

Cevap

Sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı 0,2'dir.

Denge denklemleri (

λ_n P_n = μ_{n+1} P_{n+1}

) kullanılarak tüm durum olasılıkları

P_0

cinsinden ifade edilir.

P_1 = P_0

ve

P_2 = 0,5 P_0

ilişkileri bulunduktan sonra olasılıklar toplamı 1'e eşitlenir.

P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1

eşitliğinden

P_0 = 0,4

bulunur. Buradan

P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Denge denklemlerini (local balance equations) kurun.

2P_0 = 2P_1 \Rightarrow P_1 = P_0

ve

1P_1 = 2P_2 \Rightarrow P_2 = 0,5P_1 = 0,5P_0

Denge durumunda her durum arasındaki geçiş hızları birbirine eşit olmalıdır.

2

Toplam olasılık kuralını (normalizasyon) uygulayın.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 1

Sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

3

P_0

değerini hesaplayın.

2,5P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 1 / 2,5 = 0,4

Sistemin boş olma olasılığı, diğer olasılıkların temelini oluşturur.

4

İstenen

P_2

olasılığını bulun.

P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2

Bulunan

P_0

değeri kullanılarak

P_2

elde edilir.

Anahtar Kavram

Denge Durumu Olasılıkları ve Normalizasyon Koşulu

Soru 2Soru →

Bir kuyruk sistemindeki birimlerin varış ve hizmet süreçleri bir doğum-ölüm süreciyle tanımlanmıştır. Sistemdeki birim sayısına ( $n$ ) bağlı olarak varış hızları ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızları ( $\mu_n$ ) şu şekildedir:

\lambda_0 = 2 \text{ birim/saat}

\lambda_1 = 1 \text{ birim/saat}

\lambda_n = 0 \quad (n \ge 2 \text{ için})

\mu_n = 2 \text{ birim/saat} \quad (n \ge 1 \text{ için})

Sistemin denge (steady-state) durumuna ulaştığı bilindiğine göre, sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı ( $P_2$ ) kaçtır?

0,10

0,20

0,25

0,40

0,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,20

Cevap

Sistemin denge durumunda 2 birim bulunma olasılığı 0,20'dir.

Denge denklemlerine göre

P_1 = P_0

ve

P_2 = 0,5 P_0

ilişkileri kurulur. Toplam olasılık olan

P_0 + P_1 + P_2 = 1

eşitliğinden

2,5 P_0 = 1

bulunur ve buradan

P_0 = 0,4

elde edilir. İstenen

P_2

değeri ise

0,5 \times 0,4 = 0,2

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Denge (Steady-State) denklemlerini her bir durum geçişi için yazın.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0

ve

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1

Denge durumunda bir duruma giriş hızı o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır.

2

Hız değerlerini yerlerine koyarak

P_1

ve

P_2

değerlerini

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{2}{2} P_0 = 1 P_0

ve

P_2 = \frac{1}{2} P_1 = 0,5 P_0

Tüm olasılıkları tek bir değişken (

P_0

) cinsinden yazmak çözümü kolaylaştırır.

3

Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayın.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 1 P_0 + 0,5 P_0 = 1 \Rightarrow 2,5 P_0 = 1

Bir sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

4

Sistemin boş olma olasılığını (

P_0

) ve ardından istenen

P_2

olasılığını hesaplayın.

P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,4

ve

P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2

P_2

değeri,

P_0

değerinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Normalizasyon Koşulu

Soru 3Soru →

Bir veri terminalinde işlem gören taleplerin varış ve hizmet süreçleri bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) ile modellenmiştir. Terminalde aynı anda en fazla 2 talep bulunabilmektedir. Sisteme talep geliş hızları sistemdeki talep sayısına ( $n$ ) bağlı olarak $\lambda_0 = 6$ birim/saat ve $\lambda_1 = 3$ birim/saat olarak belirlenmiştir. Taleplerin hizmet görme hızı ise sistemdeki birim sayısından bağımsız olarak $\mu = 6$ birim/saat sabittir. Buna göre, sistemin dengede (steady-state) olduğu bir anda terminalde hiç talep bulunmama olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

0,40

0,50

0,25

0,20

0,33

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.

Denge denklemlerine göre sistemin 1 birim içerme olasılığı

P_1 = (6/6)P_0 = P_0

ve 2 birim içerme olasılığı

P_2 = (3/6)P_1 = 0,5P_0

olarak bulunur. Toplam olasılık kuralı (

P_0 + P_1 + P_2 = 1

) uygulandığında

P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 2,5P_0 = 1

eşitliğinden

P_0 = 0,40

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Denge (steady-state) denklemleri kullanılarak her durumun olasılığını

P_0

cinsinden ifade ediniz.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{6}{6} P_0 = P_0

ve

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{3}{6} P_1 = 0,5 P_0

Doğum-ölüm süreçlerinde her durum arasındaki geçiş dengesi

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

formülü ile kurulur.

2

Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayınız.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1

Kesikli bir olasılık dağılımında tüm olası durumların toplamı 1 olmalıdır.

3

Elde edilen denklemde

P_0

değerini yalnız bırakarak çözünüz.

2,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,40

Matematiksel sadeleştirme sonucunda sistemin boş olma olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge Durumu Olasılıkları

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir teknik servis istasyonuna gelen cihazların varış süreci, sistemdeki cihaz sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci ile modellenmektedir. Varış hızları $\lambda_n = 4 - n$ birim/saat ( $n=0, 1, 2, 3$ ) ve hizmet hızı her cihaz için sabit $\mu = 2$ birim/saat olarak verilmiştir. Sistemin maksimum kapasitesi 3 birimdir. Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu varsayıldığında, sistemde tam olarak 2 cihaz bulunma olasılığı ( $P_2$ ) kaçtır?

1/9

2/9

1/3

1/4

3/8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1/3$

Cevap

Sistemde tam olarak 2 cihaz bulunma olasılığı

1/3

'tür.

Denge denklemleri kurulduğunda

P_1 = 2P_0

,

P_2 = 3P_0

ve

P_3 = 3P_0

bağıntıları elde edilir. Bu olasılıkların toplamı (

P_0 + 2P_0 + 3P_0 + 3P_0

) 1'e eşitlendiğinde

P_0 = 1/9

olarak bulunur. İstenen durum olan sistemde 2 cihaz bulunma olasılığı

P_2 = 3P_0

olduğundan, sonuç

3/9 = 1/3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Denge denklemlerini kullanarak her bir durum olasılığını

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu}P_0 = \frac{4}{2}P_0 = 2P_0

;

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu}P_1 = \frac{3}{2}(2P_0) = 3P_0

;

P_3 = \frac{\lambda_2}{\mu}P_2 = \frac{2}{2}(3P_0) = 3P_0

Doğum-ölüm süreçlerinde

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}P_{n-1}

bağıntısı geçerlidir.

2

Toplam olasılık kuralını (normalizasyon) uygulayarak

P_0

değerini bulun.

P_0 + 2P_0 + 3P_0 + 3P_0 = 1 \Rightarrow 9P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 1/9

Sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı 1'e eşit olmalıdır.

3

İstenen

P_2

değerini hesaplayın.

P_2 = 3P_0 = 3 \times (1/9) = 3/9 = 1/3

Birinci adımda bulunan

P_2 = 3P_0

ilişkisi kullanılmıştır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge Denklemleri

Soru 5Soru →

Bir küçük tamir atölyesinde aynı anda en fazla 2 cihaz bulunabilmektedir (sistem kapasitesi $K=2$ ). Atölyedeki cihaz sayısına ( $n$ ) bağlı olarak geliş hızları ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızları ( $\mu_n$ ) saatlik birimler cinsinden şu şekilde tanımlanmıştır:

\lambda_0 = 4, \quad \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 0

\mu_1 = 4, \quad \mu_2 = 4

Bu sistemin doğum-ölüm süreci (birth-death process) varsayımlarına uygun olarak denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, atölyenin tamamen boş olma olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

0,25

0,30

0,40

0,50

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.

Denge denklemleri kurulduğunda

P_1 = P_0

ve

P_2 = 0,5P_0

bağıntıları elde edilir. Bu olasılıkların toplamı olan

P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 2,5P_0 = 1

eşitliğinden

P_0 = 0,40

sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Denge durumundaki olasılık oranlarını (

P_n

) hesaplamak için genel formülü kullanın.

P_n = \frac{\lambda_0 \lambda_1 \dots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \mu_2 \dots \mu_n} P_0

Doğum-ölüm süreçlerinde her durumun olasılığı, boş durum olasılığı (

P_0

) cinsinden ifade edilebilir.

2

P_1

değerini

P_0

cinsinden hesaplayın.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{4}{4} P_0 = 1 P_0

Sistemde 1 cihaz olma olasılığı, 0'dan 1'e geçiş hızı ile 1'den 0'a dönüş hızı arasındaki orana bağlıdır.

3

P_2

değerini

P_0

cinsinden hesaplayın.

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{2}{4} (1 P_0) = 0,5 P_0

Sistemde 2 cihaz olma olasılığı, bir önceki durumun olasılığına ve o durumlar arasındaki geçiş hızlarına bağlıdır.

4

Tüm durum olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini bulun.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 1 P_0 + 0,5 P_0 = 1 \Rightarrow 2,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 0,4

Olasılıkların toplamı (normalizasyon koşulu) her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Normalizasyon Koşulu

İpuçları

1

Her durumun olasılığını

P_0

cinsinden ifade eden denge denklemlerini yazın.

2

P_1 = (\lambda_0 / \mu_1)P_0

ve

P_2 = (\lambda_1 / \mu_2)P_1

olduğunu unutmayın.

3

P_0 + P_1 + P_2 = 1

eşitliğindeki katsayıların toplamı 2,5 olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Aynı sistemde atölyedeki beklenen cihaz sayısını (L) hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir kuyruk sisteminde birimlerin sisteme varış (doğum) ve sistemden ayrılış (ölüm) hızları, sistemdeki birim sayısına ( $n$ ) bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

- Varış hızları: $\lambda_0 = 4$ birim/saat, $\lambda_1 = 2$ birim/saat ve $n \geq 2$ için $\lambda_n = 0$
- Hizmet hızları: $\mu_1 = 4$ birim/saat, $\mu_2 = 4$ birim/saat

Sistemin kararlı hal (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemin boş olma olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

0,20

0,25

0,40

0,50

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.

Denge denklemleri (

\lambda_n P_n = \mu_{n+1} P_{n+1}

) kullanılarak

P_1

olasılığı

P_0

'a,

P_2

olasılığı ise

0,5 P_0

'a eşit bulunur. Bu üç durumun olasılıkları toplandığında (

P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1

) katsayılar toplamı

2,5

olur.

1 / 2,5

işlemi yapıldığında doğru sonuç 0,40 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

P_1

olasılığını

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{4}{4} P_0 = P_0

Denge denklemlerine göre sistemdeki bir birim olması olasılığı, sıfır birim olma olasılığı ile varış ve hizmet hızlarının oranına bağlıdır.

2

P_2

olasılığını

P_0

cinsinden ifade edin.

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{2}{4} P_0 = 0,5 P_0

Sistemdeki iki birim olması olasılığı, bir önceki durumun (

P_1

) olasılığına ve o durumdaki geçiş hızlarına bağlıdır.

3

Olasılıklar toplamının 1 olması kuralını uygulayın.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1

Kararlı hal durumunda tüm olası durumların olasılıkları toplamı tam olarak 1 olmalıdır.

4

P_0

değerini hesaplayın.

2,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,40

Denklemin çözülmesiyle sistemin boş olma olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Genel Denge Denklemleri

Alternatif Yöntem

Geçiş diyagramı çizilerek her düğüme giren ve çıkan akışların eşitlendiği 'kesim yöntemi' ile de denklemler hızlıca kontrol edilebilir.

Tahmini Süre:50s

Soru 7Soru →

Bir belediyenin iletişim merkezindeki (Beyaz Masa) tek bir gişede vatandaşlara hizmet verilmektedir. Sistemdeki vatandaş sayısına ( $n$ ) bağlı olarak, gişeye yeni bir vatandaşın geliş hızı $\lambda_n$ (kişi/saat) ve gişenin hizmet hızı $\mu_n$ (kişi/saat) bir doğum-ölüm süreci ile modellenmiştir.

Vatandaşlar kuyruğun uzunluğunu gördüklerinde beklemekten vazgeçebilmektedir. Sistemdeki kişi sayısına göre varış hızları sırasıyla;
$\lambda_0 = 6$
$\lambda_1 = 4$
$\lambda_2 = 2$
$\lambda_n = 0 \quad (n \ge 3)$
olarak belirlenmiştir.

Gişedeki memurun hizmet hızı ise sistemde en az bir kişi varken sabittir ve $\mu_n = 2 \quad (n \ge 1)$ kişi/saat olarak verilmiştir.

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tamamen boş olma olasılığı ( $P_0$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{40}

\frac{1}{16}

\frac{1}{15}

\frac{1}{7}

\frac{3}{8}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{16}$

Cevap

Sistemin kararlı durumda tamamen boş olma olasılığı

\frac{1}{16}

'dır.

Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıkları hesaplanırken her durum için

P_n

değerleri sırasıyla önceki durumlar üzerinden birbirinin çarpımı olarak

P_0

cinsinden ifade edilir.

P_1 = 3P_0

,

P_2 = 6P_0

ve

P_3 = 6P_0

bulunduktan sonra, katsayıların toplamı (

1 + 3 + 6 + 6 = 16

) normalizasyon şartı gereği 1'e eşitlenerek sistemin boş kalma olasılığı

\frac{1}{16}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreci denge (steady-state) denklemlerini kullanarak her bir

n

durumu için

P_n

olasılıklarını

P_0

cinsinden ifade edin.

P_n = C_n \cdot P_0

ilişkisi kurulur. Burada

C_n = \frac{\lambda_0 \cdot \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \cdot \mu_2 \cdots \mu_n}

formülü geçerlidir.

Kararlı durumda bir duruma giriş hızı, o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır (Denge şartı).

2

C_1, C_2

ve

C_3

katsayılarını verilen parametrelere göre hesaplayın.

C_1 = \frac{6}{2} = 3 \implies P_1 = 3P_0

C_2 = \frac{6 \cdot 4}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 \implies P_2 = 6P_0

C_3 = \frac{6 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{48}{8} = 6 \implies P_3 = 6P_0

Sistemde en fazla 3 kişi bulunabileceği için (

\lambda_3 = 0

), sadece

P_1, P_2

ve

P_3

hesaplanır.

3

Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayarak

P_0

'ı bulun.

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0(1 + 3 + 6 + 6) = 1

16 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{16}

Sistem mutlaka bu 4 durumdan birinde bulunmak zorundadır, olasılıklar toplamı 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı Doğum-Ölüm Süreçleri ve Normalizasyon

Soru 8Soru →

Bir limandaki gemi yükleme-boşaltma tesisinde, sisteme gemi varış hızı ve gemilere verilen hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) ile modellenmiştir.

Maksimum kapasitenin 3 gemi olduğu (sistemde 3 gemi varken yeni gemilerin başka limana yönlendirildiği) bu sistemde hızlar aşağıdaki gibidir:
- Sisteme gemi varış hızı: $\lambda_n = (3 - n)\lambda$ , ( $n = 0, 1, 2$ ) ve $\lambda_n = 0$ ( $n \ge 3$ )
- Gemilere hizmet verilme hızı: $\mu_n = n\mu$ , ( $n = 1, 2, 3$ )

Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemdeki beklenen gemi sayısı ( $L$ ) ile sistemin tamamen boş olma olasılığı ( $P_0$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? ( $\rho = \frac{\lambda}{\mu}$ )

L = \frac{\rho + 2\rho^2 + 3\rho^3}{1+\rho+\rho^2+\rho^3} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1+\rho+\rho^2+\rho^3}

L = \frac{3\rho + 12\rho^2 + 18\rho^3}{1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3}

L = \frac{3\rho}{1+\rho} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

L = 3\rho \quad , \quad P_0 = (1-\rho)^3

L = \frac{\rho + \rho^2 + \frac{\rho^3}{2}}{1 + \rho + \frac{\rho^2}{2} + \frac{\rho^3}{6}} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1 + \rho + \frac{\rho^2}{2} + \frac{\rho^3}{6}}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $L = \frac{3\rho}{1+\rho} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}$

Cevap

Sistemdeki beklenen gemi sayısının

L = \frac{3\rho}{1+\rho}

ve boş olma olasılığının

P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

olduğu seçenek doğru cevaptır.

Denge durumunda doğum-ölüm süreçleri için geçiş denklemi

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

formülü ile çözülür. Parametreler yerine konduğunda

P_1 = 3\rho P_0

,

P_2 = 3\rho^2 P_0

ve

P_3 = \rho^3 P_0

olasılıkları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olması kuralından, parantez içi ifadenin

(1+\rho)^3

Binom açılımına denk olduğu görülür ve

P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

bulunur. Sistemdeki ortalama uzunluk olan

L = \sum n P_n

hesabı yapıldığında ve

P_0

ile çarpıldığında sonuç sadeleşerek

\frac{3\rho}{1+\rho}

bağıntısını verir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreçleri için genel denge (steady-state) denklemlerini her bir duruma (n) uygulayın.

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

ilişkisi kullanılarak olasılıklar

P_0

cinsinden yazılır.

Sistem sürekli denge halinde olduğu için, her durumdan çıkış hızı o duruma giriş hızına eşit olmalıdır.

2

Verilen varış (

\lambda_n

) ve hizmet (

\mu_n

) hızlarını kullanarak

P_1, P_2

ve

P_3

olasılıklarını

P_0

cinsinden türetin.

P_1 = \frac{3\lambda}{\mu}P_0 = 3\rho P_0

,

P_2 = \frac{2\lambda}{2\mu}P_1 = 3\rho^2 P_0

,

P_3 = \frac{\lambda}{3\mu}P_2 = \rho^3 P_0

Sistem durum olasılıklarının bağıl değerlerini belirlemek için duruma özgü katsayılar sisteme entegre edilir.

3

Toplam olasılığın 1'e eşit olması (Normalizasyon) kuralını uygulayarak

P_0

'ı bulun.

\sum_{n=0}^{3} P_n = P_0 (1 + 3\rho + 3\rho^2 + \rho^3) = 1

. Binom açılımından

(1+\rho)^3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}

elde edilir.

Sistemin mutlaka bu dört durumdan (0, 1, 2, 3) birinde bulunması gerektiği için durum olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.

4

Beklenen gemi sayısı formülünü (

L = \sum_{n=0}^{3} n P_n

) uygulayın ve denklemi sadeleştirin.

L = 1(3\rho P_0) + 2(3\rho^2 P_0) + 3(\rho^3 P_0) = 3\rho (1 + 2\rho + \rho^2) P_0

. Bu denklem

3\rho (1+\rho)^2 P_0

olarak yazılır.

P_0

'ı yerine koyarsak:

L = \frac{3\rho (1+\rho)^2}{(1+\rho)^3} = \frac{3\rho}{1+\rho}

Sistemdeki ortalama birim sayısını bulmak için her durumun birim sayısıyla o durumda bulunma olasılığı ağırlıklandırılarak toplanır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Soru 9Soru →

Bir elektrikli araç şarj istasyonunda aynı anda en fazla 3 araç bulunabilmektedir (1 araç şarj ünitesinde, en fazla 2 araç bekleme sırasında). Sisteme araç varış hızı ve sistemin şarj (hizmet) hızı, istasyondaki araç sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci ile modellenmiştir.

İstasyondaki araç sayısına göre varış hızları ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızları ( $\mu_n$ ) saatlik olarak aşağıdaki gibidir:
- $\lambda_0 = 6$ , $\lambda_1 = 4$ , $\lambda_2 = 2$ ve $n \ge 3$ için $\lambda_n = 0$
- $\mu_1 = 2$ , $\mu_2 = 4$ , $\mu_3 = 4$

Buna göre, sistemin denge (steady-state) durumunda tamamen dolu olma olasılığı kaçtır?

\frac{1}{11}

\frac{2}{17}

\frac{1}{5}

\frac{3}{17}

\frac{6}{17}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{17}$

Cevap

Sistemin tamamen dolu olma olasılığı

\frac{3}{17}

'dir.

Denge durumunda doğum-ölüm süreci ardışık oranlar kuralına uyar.

P_1 = 3P_0

,

P_2 = 3P_0

ve

P_3 = 1.5P_0

olarak bulunur. Tüm bu katsayıları

P_0

(1 katsayısı) ile topladığımızda sistemin toplam olasılık çarpanı 8.5 (veya

\frac{17}{2}

) olur. Buradan

P_0 = \frac{2}{17}

elde edilir. Bize sistemin tamamen dolu olduğu

n=3

durumu sorulduğundan,

P_3 = 1.5 \times \frac{2}{17} = \frac{3}{17}

doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-ölüm süreci denge denklemlerini kullanarak her durumun olasılığını (

P_n

)

P_0

cinsinden ifade edin.

P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1}P_0 = \frac{6}{2}P_0 = 3P_0

P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2}P_1 = \frac{4}{4}(3P_0) = 3P_0

P_3 = \frac{\lambda_2}{\mu_3}P_2 = \frac{2}{4}(3P_0) = 1.5P_0 = \frac{3}{2}P_0

Denge (steady-state) koşullarında bir duruma giriş hızı, o durumdan çıkış hızına eşittir ve

P_n = P_{n-1} \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n}

bağıntısı geçerlidir.

2

Sistemdeki tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesaplayın.

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0 + 3P_0 + 3P_0 + 1.5P_0 = 1

8.5P_0 = 1 \implies \frac{17}{2}P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{2}{17}

Bir olasılık dağılımında tüm olası durumların olasılıkları toplamı daima 1 olmak zorundadır.

3

Sistemin tamamen dolu olması durumu olan

P_3

olasılığını bulun.

P_3 = \frac{3}{2}P_0 = \frac{3}{2} \times \frac{2}{17} = \frac{3}{17}

Sistem en fazla 3 araç alabildiği için, tamamen dolu olma durumu sistemde tam olarak 3 aracın bulunmasıdır (

n=3

).

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge (Steady-State) Denklemleri ve Olasılık Hesaplamaları

Soru 10Soru →

Bir gümrük kapısındaki tek peronlu pasaport kontrol noktasında, yolcu gelişleri Poisson sürecine uymakta olup ortalama varış hızı saatte 30 yolcudur ( $\lambda = 30$ ).

Pasaport kontrol memurunun hizmet süresi üstel dağılıma sahiptir ancak memurun çalışma hızı sistemdeki yolcu sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişmektedir. Sistemde sadece 1 yolcu varken (sadece işlem gören yolcu) memur standart hızında çalışmakta ve saatte 30 yolcuya hizmet verebilmektedir ( $\mu_1 = 30$ ). Ancak sistemde 2 veya daha fazla yolcu bulunduğunda (kuyruk oluştuğunda) memur baskı hissederek hızlanmakta ve saatte 60 yolcu kapasitesiyle hizmet vermektedir ( $n \ge 2$ için $\mu_n = 60$ ).

Varış hızının sistemdeki yolcu sayısından bağımsız olduğu ve sistem kapasitesinin sonsuz olduğu bilindiğine göre, sistem denge (steady-state) durumundayken sistemde tam olarak 2 yolcu bulunma olasılığı ( $P_2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{6}

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{1}{12}

\frac{1}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{6}$

Cevap

Sistemde tam olarak 2 yolcu bulunma olasılığı

\frac{1}{6}

'dır.

Doğum-ölüm süreçlerinde sistemin her bir durumu için

P_n = C_n P_0

katsayısı hesaplanır. Soru kökündeki duruma göre varış hızı sabit (

\lambda=30

) iken, hizmet hızı

n=1

için

30

,

n \ge 2

için

60

'tır. Bu durumda katsayılar

C_0=1, C_1=1, C_2=\frac{1}{2}, C_3=\frac{1}{4}\dots

şeklinde bir geometrik dizi oluşturur. Toplam katsayı

1 + \frac{1}{1-0.5} = 3

olduğundan

P_0 = \frac{1}{3}

bulunur. Sistemde tam olarak iki kişi olma olasılığı ise

P_2 = C_2 \cdot P_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum ve ölüm süreçleri için hıza bağlı katsayıları (

\lambda_n

ve

\mu_n

) belirle.

Tüm

n \ge 0

için

\lambda_n = 30

. Ölüm oranları ise

\mu_1 = 30

ve

n \ge 2

için

\mu_n = 60

şeklindedir.

Denge denklemlerinde durum olasılıklarını (

P_n

) hesaplamak için geçiş hızlarının her durum (

n

) için açıkça bilinmesi gerekir.

2

Her bir

n

durumu için

C_n = \frac{\lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n}

katsayılarını hesapla.

C_0 = 1

.

C_1 = \frac{30}{30} = 1

.

C_2 = \frac{30 \cdot 30}{30 \cdot 60} = \frac{1}{2}

.

C_3 = \frac{30 \cdot 30 \cdot 30}{30 \cdot 60 \cdot 60} = \frac{1}{4}

. Genel terim

n \ge 1

için

C_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

olur.

Her durumun olasılığı, boş olma olasılığının (

P_0

) bu katsayılarla çarpımına eşittir (

P_n = C_n P_0

).

3

Tüm olasılıkların toplamının 1 olmasından yola çıkarak

P_0

değerini bul (

\sum P_n = 1 \Rightarrow P_0 \sum C_n = 1

).

Toplam

S = C_0 + C_1 + C_2 + \dots = 1 + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right)

. Parantez içi sonsuz geometrik dizidir ve toplamı

\frac{1}{1-0.5} = 2

yapar. Genel toplam

1 + 2 = 3

olur. Dolayısıyla

P_0 = \frac{1}{3}

'tür.

Kuyruk modelinin steady-state (denge) durumunda olabilmesi için olasılık uzayının toplamı 1'e eşitlenmelidir.

4

P_n = C_n P_0

bağıntısını kullanarak istenen

P_2

değerini hesapla.

P_2 = C_2 \cdot P_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

olarak bulunur.

Sistemde tam olarak 2 kişi olması, sistemin

n=2

durumunda bulunması demektir.

Anahtar Kavram

Durum-bağımlı Doğum ve Ölüm Süreçleri Denge Denklemleri

Soru 11Soru →

Bir kamu kurumu siber güvenlik müdahale merkezinde, tespit edilen şüpheli ağ paketlerinin analizi tek bir uzman sistem üzerinden yapılmaktadır. Merkeze şüpheli paket gelişleri Poisson sürecine, uzman sistemin analiz süreleri ise Üstel dağılıma uymaktadır.

Sistem donanım kısıtları nedeniyle aynı anda en fazla 3 şüpheli paketi barındırabilmektedir (1 paket analiz edilirken en fazla 2 paket kuyrukta bekleyebilir). Sistem tamamen dolu olduğunda gelen yeni şüpheli paketler alternatif bir yedek merkeze yönlendirilerek sisteme alınmamaktadır.

Ağ yükü ve aciliyet protokollerine göre sistemdeki paket sayısına ( $n$ ) bağlı olarak varış hızı ( $\lambda_n$ ) ve hizmet hızı ( $\mu_n$ ) (paket/dakika) dinamik olarak değişmektedir:

Sistemdeki Paket Sayısı ( $n$ )	Varış Hızı ( $\lambda_n$ )	Hizmet Hızı ( $\mu_n$ )
0	3	0
1	4	2
2	2	3
3	0	4

Buna göre, sistem kararlı duruma (steady-state) ulaştığında, bu merkezde (analiz edilen ve bekleyen toplam) ortalama şüpheli paket sayısı ( $L$ ) kaçtır?

\frac{8}{11}

\frac{9}{11}

\frac{14}{13}

\frac{17}{11}

\frac{17}{9}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{11}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{17}{11}

'dir. Duruma bağlı varış ve hizmet hızlarıyla elde edilen denge denklemleri çözülerek sistemdeki ortalama paket sayısı bulunmuştur.

Sistemde duruma bağlı varış ve hizmet hızları uygulandığı için klasik kuyruk formülleri yerine kararlı durum (steady-state) denge denklemleri kullanılmalıdır. Doğum-Ölüm süreci mantığıyla komşu durumlar arasındaki akışlar eşitlenir (

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

). Buradan

P_1 = 1.5 P_0

,

P_2 = 2 P_0

,

P_3 = P_0

bulunur. Olasılıkların toplamı 1'e eşitlenerek

P_0 = 2/11

elde edilir. Son adımda,

L = \sum n P_n

beklenen değer formülü uygulanarak

L = 1(3/11) + 2(4/11) + 3(2/11) = 17/11

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğum-Ölüm süreci için her bir duruma ait kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini kur.

Giren akış = Çıkan akış mantığıyla:
Durum 0:

\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \Rightarrow 3P_0 = 2P_1

Durum 1:

\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \Rightarrow 4P_1 = 3P_2

Durum 2:

\lambda_2 P_2 = \mu_3 P_3 \Rightarrow 2P_2 = 4P_3

Sistem durumları birbirine bağımlı hızlara sahip olduğu için standart formüller (örn.

M/M/1

) kullanılamaz; temel prensipten denklemler üretilmelidir.

2

Tüm durum olasılıklarını (

P_1, P_2, P_3

) sistemin boş olma olasılığı (

P_0

) cinsinden ifade et.

P_1 = \frac{3}{2} P_0 = 1.5 P_0

P_2 = \frac{4}{3} P_1 = \frac{4}{3}(\frac{3}{2} P_0) = 2 P_0

P_3 = \frac{2}{4} P_2 = \frac{1}{2}(2 P_0) = 1 P_0

Sistemin herhangi bir anında tüm olasılıkların toplamının 1 olması kuralını uygulayabilmek için tek bilinmeyenli denkleme dönüştürmek gerekir.

3

Olasılıklar toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesapla.

\sum P_n = P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0(1 + \frac{3}{2} + 2 + 1) = 1

P_0(\frac{11}{2}) = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{2}{11}

Sistemin olasılık dağılımının (olasılık kütle fonksiyonu) geçerli olabilmesi için normalizasyon şartıdır.

4

Diğer olasılıkları sayısal değere çevir ve Beklenen Değer formülü ile Sistemdeki Ortalama Paket Sayısını (

L

) bul.

P_1 = \frac{3}{11}, P_2 = \frac{4}{11}, P_3 = \frac{2}{11}

L = \sum_{n=0}^{3} n \cdot P_n = 0(\frac{2}{11}) + 1(\frac{3}{11}) + 2(\frac{4}{11}) + 3(\frac{2}{11})

L = \frac{0 + 3 + 8 + 6}{11} = \frac{17}{11}

Sistemdeki ortalama birim sayısı, her bir durumun o durumda bulunma olasılığı ile çarpımlarının toplamına (beklenen değerine) eşittir.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı (State-Dependent) Varış ve Hizmet Hızları ile Kararlı Durum (Steady-State) Analizi

Soru 12Soru →

Bir hava trafik kontrol merkezinde, acil iniş izni isteyen insansız hava araçları (İHA) için tek bir otonom analiz sistemi bulunmaktadır. Bu sisteme İHA'ların varış hızı, o an sistemde bulunan (analiz edilen veya kuyrukta bekleyen) İHA sayısına ( $n$ ) bağlı olarak değişmektedir.

- Sistem boşken ( $n=0$ ) varış hızı: saatte 12 İHA
- Sistemde 1 İHA varken ( $n=1$ ) varış hızı: saatte 6 İHA
- Sistemde 2 İHA varken ( $n=2$ ) varış hızı: saatte 4 İHA

Sistem kapasitesi en fazla 3 İHA ile sınırlıdır (1'i analizde, 2'si kuyrukta). Dolayısıyla, sistemde 3 İHA bulunduğunda yeni gelen araçlar başka bir merkeze yönlendirilmektedir. Otonom analiz sisteminin hizmet süresi üstel dağılıma uymakta olup saatte ortalama 4 İHA'ya hizmet verebilmektedir. Sistemdeki araç sayısından bağımsız olarak hizmet hızı sabittir.

Bu Doğum-Ölüm (Birth-Death) sürecine göre, sistemin denge durumunda (steady-state) tamamen boş kalma olasılığı ( $P_0$ ) kaçtır?

\frac{1}{40}

\frac{1}{13}

\frac{1}{12}

\frac{1}{7}

\frac{2}{13}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{13}$

Cevap

Doğru cevap

\frac{1}{13}

değeridir. Denge durumunda tüm olasılıkların

P_0

cinsinden toplamı

13P_0

değerine eşittir ve

13P_0 = 1

denkleminden bu sonuca ulaşılır.

Bu problemde varış hızı sisteme o anki durumuna bağlı olarak değiştiği için standart kuyruk formülleri kullanılamaz. Temel Doğum-Ölüm (Birth-Death) süreci denge denklemleri kullanılarak her bir durumun olasılığı

P_0

cinsinden ifade edilmeli (

P_1 = 3P_0

,

P_2 = 4,5P_0

,

P_3 = 4,5P_0

) ve tüm olasılıkların toplamı (

13P_0

) 1'e eşitlenerek çözüme ulaşılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Sistemdeki araç sayısına (

n

) göre varış (

\lambda_n

) ve hizmet (

\mu_n

) hızlarını belirleyiniz.

Varış hızları:

\lambda_0 = 12

,

\lambda_1 = 6

,

\lambda_2 = 4

,

\lambda_n = 0

(

n \ge 3

). Hizmet hızları sabittir:

\mu_n = 4

(

n \ge 1

).

Sistemin durumlarına ait denge denklemlerini kurabilmek için durumlar arası geçiş oranlarının netleştirilmesi gerekir.

2

Doğum-Ölüm süreci genel formülü olan

P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1}

bağıntısını kullanarak tüm olasılıkları

P_0

cinsinden ifade ediniz.

P_1 = \frac{12}{4} P_0 = 3P_0

P_2 = \frac{6}{4} P_1 = 1,5 \times 3P_0 = 4,5P_0

P_3 = \frac{4}{4} P_2 = 1 \times 4,5P_0 = 4,5P_0

Sistem dengedeyken bir duruma giriş oranı o durumdan çıkış oranına eşit olmalıdır, bu denklik her durumun olasılığını boş kalma olasılığı cinsinden verir.

3

Tüm durumların olasılıkları toplamını 1'e eşitleyerek

P_0

değerini hesaplayınız.

P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1

P_0 + 3P_0 + 4,5P_0 + 4,5P_0 = 1

13P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{13}

Bir olasılık dağılımında gerçekleşebilecek tüm birbirini dışlayan durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı (State-Dependent) Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge Denklemleri

Soru 13Soru →

Bir bilgisayar ağındaki veri paketlerinin bir işlemciye varış hızı, sistemdeki paket sayısına ( $n$ ) bağlı olarak $\lambda_n = \frac{6}{n+1}$ paket/ms olarak değişmektedir. İşlemcinin paket işleme (hizmet) hızı ise her durumda sabittir ve $\mu = 3$ paket/ms'dir. Sistemin kapasitesi en fazla 2 paket ile sınırlı olduğuna göre (sistemde 2 paket varken yeni gelenler reddedilir), denge durumunda (steady-state) sistemde tam olarak 2 paket bulunma olasılığı ( $P_2$ ) kaçtır?

0,20

0,40

0,50

0,33

0,60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,40

Cevap

Denge durumunda sistemde 2 paket bulunma olasılığı 0,40'tır.

Sistemdeki geçiş hızları analiz edildiğinde,

n=1

durumu

n=0

durumunun iki katı,

n=2

durumu ise

n=1

durumu ile eşit olasılığa sahiptir. Bu durumda

1:2:2

oranı oluşur ve toplam 5 birimden 2 birimi (

2/5=0,40

) sistemde 2 paket olma olasılığını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1

Sistem durumları için varış ve hizmet hızlarını belirle.

\lambda_0 = 6/(0+1) = 6

,

\lambda_1 = 6/(1+1) = 3

ve

\mu_1 = 3, \mu_2 = 3

.

Doğum-ölüm sürecinin hız parametrelerini kurmak için gereklidir.

2

Durum olasılıklarını (

P_1

ve

P_2

)

P_0

cinsinden ifade et.

P_1 = (\lambda_0 / \mu_1) P_0 = (6/3) P_0 = 2P_0

;

P_2 = (\lambda_1 / \mu_2) P_1 = (3/3) (2P_0) = 2P_0

.

Denge (steady-state) denklemleri olan

\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n

bağıntısı uygulanır.

3

Toplam olasılık kuralını kullanarak

P_0

değerini bul.

P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 2P_0 + 2P_0 = 1 \Rightarrow 5P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 0,20

.

Sistemin mutlaka bu üç durumdan birinde bulunması gerektiği prensibine dayanır.

4

İstenen

P_2

olasılığını hesapla.

P_2 = 2 \times P_0 = 2 \times 0,20 = 0,40

.

İkinci adımda bulunan bağıntı ile

P_0

değeri birleştirilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Genel Denge Denklemleri

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar