Examkin

Soru

Zorluk: KolayDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir kuyruk sisteminde birimlerin sisteme varış (doğum) ve sistemden ayrılış (ölüm) hızları, sistemdeki birim sayısına (nn) bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

- Varış hızları: λ0=4\lambda_0 = 4 birim/saat, λ1=2\lambda_1 = 2 birim/saat ve n≥2n \geq 2 için λn=0\lambda_n = 0
- Hizmet hızları: μ1=4\mu_1 = 4 birim/saat, μ2=4\mu_2 = 4 birim/saat

Sistemin kararlı hal (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemin boş olma olasılığı (P0P_0) kaçtır?

  1. A
    0,20
  2. B
    0,25
  3. 0,40Cevap
  4. D
    0,50
  5. E
    0,60

Cevap

Sistemin boş olma olasılığı 0,40 olarak hesaplanır.
Denge denklemleri (λnPn=μn+1Pn+1 \lambda_n P_n = \mu_{n+1} P_{n+1} ) kullanılarak P1P_1 olasılığı P0P_0'a, P2P_2 olasılığı ise 0,5P00,5 P_0'a eşit bulunur. Bu üç durumun olasılıkları toplandığında (P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1) katsayılar toplamı 2,52,5 olur. 1/2,51 / 2,5 işlemi yapıldığında doğru sonuç 0,40 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P1P_1 olasılığını P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=λ0μ1P0=44P0=P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 = \frac{4}{4} P_0 = P_0
Denge denklemlerine göre sistemdeki bir birim olması olasılığı, sıfır birim olma olasılığı ile varış ve hizmet hızlarının oranına bağlıdır.
2
P2P_2 olasılığını P0P_0 cinsinden ifade edin.
P2=λ1μ2P1=24P0=0,5P0P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1 = \frac{2}{4} P_0 = 0,5 P_0
Sistemdeki iki birim olması olasılığı, bir önceki durumun (P1P_1) olasılığına ve o durumdaki geçiş hızlarına bağlıdır.
3
Olasılıklar toplamının 1 olması kuralını uygulayın.
P0+P1+P2=1⇒P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1
Kararlı hal durumunda tüm olası durumların olasılıkları toplamı tam olarak 1 olmalıdır.
4
P0P_0 değerini hesaplayın.
2,5P0=1⇒P0=12,5=0,402,5 P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,40
Denklemin çözülmesiyle sistemin boş olma olasılığı elde edilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Genel Denge Denklemleri

Alternatif Yöntem

Geçiş diyagramı çizilerek her düğüme giren ve çıkan akışların eşitlendiği 'kesim yöntemi' ile de denklemler hızlıca kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru