Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir kuyruk sistemindeki birimlerin varış ve hizmet süreçleri bir doğum-ölüm süreciyle tanımlanmıştır. Sistemdeki birim sayısına (nn) bağlı olarak varış hızları (λn\lambda_n) ve hizmet hızları (μn\mu_n) şu şekildedir:

λ0=2 birim/saat\lambda_0 = 2 \text{ birim/saat}
λ1=1 birim/saat\lambda_1 = 1 \text{ birim/saat}
λn=0(n≥2 ic¸in)\lambda_n = 0 \quad (n \ge 2 \text{ için})
μn=2 birim/saat(n≥1 ic¸in)\mu_n = 2 \text{ birim/saat} \quad (n \ge 1 \text{ için})

Sistemin denge (steady-state) durumuna ulaştığı bilindiğine göre, sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı (P2P_2) kaçtır?

  1. A
    0,10
  2. 0,20Cevap
  3. C
    0,25
  4. D
    0,40
  5. E
    0,50

Cevap

Sistemin denge durumunda 2 birim bulunma olasılığı 0,20'dir.
Denge denklemlerine göre P1=P0P_1 = P_0 ve P2=0,5P0P_2 = 0,5 P_0 ilişkileri kurulur. Toplam olasılık olan P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 eşitliğinden 2,5P0=12,5 P_0 = 1 bulunur ve buradan P0=0,4P_0 = 0,4 elde edilir. İstenen P2P_2 değeri ise 0,5×0,4=0,20,5 \times 0,4 = 0,2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Denge (Steady-State) denklemlerini her bir durum geçişi için yazın.
P1=λ0μ1P0P_1 = \frac{\lambda_0}{\mu_1} P_0 ve P2=λ1μ2P1P_2 = \frac{\lambda_1}{\mu_2} P_1
Denge durumunda bir duruma giriş hızı o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır.
2
Hız değerlerini yerlerine koyarak P1P_1 ve P2P_2 değerlerini P0P_0 cinsinden ifade edin.
P1=22P0=1P0P_1 = \frac{2}{2} P_0 = 1 P_0 ve P2=12P1=0,5P0P_2 = \frac{1}{2} P_1 = 0,5 P_0
Tüm olasılıkları tek bir değişken (P0P_0) cinsinden yazmak çözümü kolaylaştırır.
3
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayın.
P0+P1+P2=1⇒P0+1P0+0,5P0=1⇒2,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 1 P_0 + 0,5 P_0 = 1 \Rightarrow 2,5 P_0 = 1
Bir sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
4
Sistemin boş olma olasılığını (P0P_0) ve ardından istenen P2P_2 olasılığını hesaplayın.
P0=12,5=0,4P_0 = \frac{1}{2,5} = 0,4 ve P2=0,5×0,4=0,2P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2
P2P_2 değeri, P0P_0 değerinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Denge Denklemleri ve Normalizasyon Koşulu
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru