Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir kuyruk sisteminde doğum-ölüm süreci geçerlidir. Sistemdeki birim sayısına (nn) bağlı olarak varış hızları λn\lambda_n ve hizmet hızları μn\mu_n aşağıda tanımlanmıştır:

λn={2,n=01,n=10,n≥2\lambda_n = \begin{cases} 2, & n=0 \\ 1, & n=1 \\ 0, & n \geq 2 \end{cases}
μn={2,n=12,n=2\mu_n = \begin{cases} 2, & n=1 \\ 2, & n=2 \end{cases}

Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı (P2P_2) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 0,2Cevap
  2. B
    0,4
  3. C
    0,5
  4. D
    0,25
  5. E
    0,1

Cevap

Sistemde tam olarak 2 birim bulunma olasılığı 0,2'dir.
Denge denklemleri (λnPn=μn+1Pn+1λ_n P_n = μ_{n+1} P_{n+1}) kullanılarak tüm durum olasılıkları P0P_0 cinsinden ifade edilir. P1=P0P_1 = P_0 ve P2=0,5P0P_2 = 0,5 P_0 ilişkileri bulunduktan sonra olasılıklar toplamı 1'e eşitlenir. P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_0 + 0,5 P_0 = 1 eşitliğinden P0=0,4P_0 = 0,4 bulunur. Buradan P2=0,5×0,4=0,2P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denge denklemlerini (local balance equations) kurun.
2P0=2P1⇒P1=P02P_0 = 2P_1 \Rightarrow P_1 = P_0 ve 1P1=2P2⇒P2=0,5P1=0,5P01P_1 = 2P_2 \Rightarrow P_2 = 0,5P_1 = 0,5P_0
Denge durumunda her durum arasındaki geçiş hızları birbirine eşit olmalıdır.
2
Toplam olasılık kuralını (normalizasyon) uygulayın.
P0+P1+P2=1⇒P0+P0+0,5P0=1P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + P_0 + 0,5P_0 = 1
Sistemin tüm olası durumlarının olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
3
P0P_0 değerini hesaplayın.
2,5P0=1⇒P0=1/2,5=0,42,5P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 1 / 2,5 = 0,4
Sistemin boş olma olasılığı, diğer olasılıkların temelini oluşturur.
4
İstenen P2P_2 olasılığını bulun.
P2=0,5×0,4=0,2P_2 = 0,5 \times 0,4 = 0,2
Bulunan P0P_0 değeri kullanılarak P2P_2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Denge Durumu Olasılıkları ve Normalizasyon Koşulu
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru