Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamasında, bir veri setinden elde edilen varyans-kovaryans matrisinin (Σ\mathbf{\Sigma}) özdeğerleri (λ1,λ2,...,λp\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_p) ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler (e1,e2,...,ep\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..., \mathbf{e}_p) ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Tüm özdeğerlerin toplamı (∑i=1pλi\sum_{i=1}^{p} \lambda_i), varyans-kovaryans matrisinin iz (trace) değerine eşittir.
  2. B
    Özdeğerlerin çarpımı (∏i=1pλi\prod_{i=1}^{p} \lambda_i), varyans-kovaryans matrisinin determinantına (∣Σ∣|\mathbf{\Sigma}|) eşittir.
  3. C
    Her bir temel bileşene ait varyans miktarı, o bileşene karşılık gelen özdeğerin büyüklüğüne eşittir.
  4. D
    Özvektörler birim uzunluktadır (ei′ei=1\mathbf{e}_i' \mathbf{e}_i = 1) ve farklı özdeğerlere ait özvektörler birbirine diktir (ei′ej=0,i≠j\mathbf{e}_i' \mathbf{e}_j = 0, i \neq j).
  5. Özdeğerlerin toplamı, analize giren varyans-kovaryans matrisinin determinantına eşittir.Cevap

Cevap

Özdeğerlerin toplamının determinant değerine eşit olduğunu savunan ifade yanlıştır; çünkü bu toplam matrisin izine (trace) eşittir.
Doğru cevap, özdeğerlerin toplamının determinant değerine eşit olduğunu öne süren ifadedir; çünkü lineer cebir prensiplerine göre özdeğerler toplamı matrisin izine (trace), özdeğerler çarpımı ise matrisin determinantına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Matris izi (trace) özelliğini hatırla
∑i=1pλi=tr(Σ)\sum_{i=1}^{p} \lambda_i = \text{tr}(\mathbf{\Sigma})
Özdeğerlerin toplamı, varyans-kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının toplamına (toplam varyansa) karşılık gelir.
2
Matris determinant özelliğini hatırla
∏i=1pλi=∣Σ∣\prod_{i=1}^{p} \lambda_i = |\mathbf{\Sigma}|
Bir matrisin determinantı, tüm özdeğerlerin geometrik çarpımına eşittir ve genelleştirilmiş varyansı temsil eder.
3
Seçeneklerdeki ifadeleri bu temel prensiplerle karşılaştır
Özdeğerlerin toplamının determinant ile ilişkilendirilmesi hatalıdır.
Toplam işlemine karşılık gelen değer izdir (trace), çarpım işlemine karşılık gelen değer ise determinanttır.

Anahtar Kavram

Özdeğerlerin İz (Trace) ve Determinant ile İlişkisi

Daha Fazla Pratik

Korelasyon matrisi üzerinden yapılan TBA'da özdeğerlerin toplamının neden değişken sayısına (pp) eşit olduğunu inceleyiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru