Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bir kamu kurumu uzmanı, illerin sosyo-ekonomik gelişmişlik düzeyini ölçmek için 5 farklı değişken içeren bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Bu analizde, değişkenler arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla 5×55 \times 5 boyutlu örneklem varyans-kovaryans matrisi (SS) hesaplanmıştır. Matrisin özdeğerleri λ1>λ2>λ3>λ4>λ5>0\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3 > \lambda_4 > \lambda_5 > 0 olarak bulunmuş ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler sırasıyla e1,e2,e3,e4,e5e_1, e_2, e_3, e_4, e_5 olarak elde edilmiştir.

Bu analizin özellikleri ve elde edilen matris bileşenleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    SS matrisinin izi (esas köşegen elemanlarının toplamı), özdeğerlerin toplamına (∑i=15λi\sum_{i=1}^{5} \lambda_i) eşit olup veri setindeki toplam varyansı ifade eder.
  2. B
    Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, en büyük özdeğerin matrisin izine bölünmesi (λ1∑i=15λi\frac{\lambda_1}{\sum_{i=1}^{5} \lambda_i}) ile hesaplanır.
  3. Temel bileşenlerin açıkladığı toplam varyans, SS matrisinin determinantına eşit olup özdeğerlerin çarpımı (∏i=15λi\prod_{i=1}^{5} \lambda_i) ile bulunur.Cevap
  4. D
    Analizde elde edilen özvektörlerin tümü birim uzunluğa sahip (eiTei=1e_i^T e_i = 1) ve birbirlerine dik (eiTej=0,i≠je_i^T e_j = 0, i \neq j) olacak şekilde normlanmıştır.
  5. E
    Değişkenlerin ölçüm birimleri birbirinden çok farklıysa, SS matrisi yerine korelasyon matrisinin (RR) kullanılması büyük varyanslı değişkenlerin bileşenleri domine etmesini önler.

Cevap

Temel bileşenlerin açıkladığı toplam varyansın matris determinantına eşit olduğunu ve özdeğerlerin çarpımıyla bulunduğunu iddia eden ifade yanlıştır.
Temel Bileşenler Analizinde (TBA) veri setinin toplam varyansı, varyans-kovaryans matrisinin (SS) izine (köşegen elemanlarının toplamına) ve dolayısıyla özdeğerlerin toplamına (∑λi\sum \lambda_i) eşittir. Matrisin determinantı (özdeğerlerin çarpımı, ∏λi\prod \lambda_i) ise toplam varyansı değil, veri bulutunun genel yayılım hacmini ifade eden 'genelleştirilmiş varyansı' (generalized variance) gösterir. Bu nedenle toplam varyansın determinant ile hesaplandığını belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Varyans-kovaryans matrisinin iz (trace) ve determinant özelliklerini analiz et.
Matrisin izi, köşegen elemanlarının (bireysel varyansların) toplamıdır ve matematiksel olarak özdeğerlerin toplamına (∑λi\sum \lambda_i) eşittir. Determinant ise özdeğerlerin çarpımıdır (∏λi\prod \lambda_i).
Toplam varyans ile genelleştirilmiş varyans kavramlarını ayırt etmek için.
2
Seçeneklerdeki toplam varyans tanımlarını Temel Bileşenler Analizi prensipleriyle karşılaştır.
Toplam varyansın determinant (özdeğer çarpımı) ile hesaplandığını belirten seçenek tespit edilir.
TBA'da 'Toplam Varyans' daima matrisin izine (özdeğer toplamına) karşılık gelir. Determinant 'Genelleştirilmiş Varyans'tır.

Anahtar Kavram

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri (İz ve Determinant Kavramları)
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru