Bir kamu kurumunda çalışan veri bilimci, sosyo-ekonomik göstergelerden oluşan çok değişken… — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda çalışan veri bilimci, sosyo-ekonomik göstergelerden oluşan çok değişkenli bir veri setini özetlemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Araştırmacı, $p \times p$ boyutlu örneklem varyans-kovaryans matrisinden ( $S$ ) yararlanarak matrisin özdeğerlerini ( $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_p \geq 0$ ) ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörleri ( $e_1, e_2, \dots, e_p$ ) hesaplamıştır.

Bu analizin matematiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A
Veri setindeki toplam varyans $S$ matrisinin determinantına eşittir ve bu değer tüm özdeğerlerin çarpımı formülüyle hesaplanır.
B
Herhangi bir $i$ . temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşenin özdeğeri olan $\lambda_i$ 'nin tek başına doğrudan bir yüzde değeri olarak yorumlanmasıyla elde edilir.
C
Temel bileşenler, ortak faktör varyansını ve hata terimlerini modelleyen gizil (latent) değişkenler olduğu için, özvektörlerin birbirine dik olması (ortogonallik) gerekmez.
Orijinal değişkenlerin toplam varyansı tüm özdeğerlerin toplamına ( $\sum \lambda_i$ ) eşit olup, bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler birim uzunlukta ve birbirine diktir.Cevap
E
$S$ matrisinin izi (trace) tüm özdeğerlerin çarpımına eşit olduğundan, özdeğerlerden herhangi birinin sıfır olması durumunda veri setinin toplam varyansı da sıfır olur.

Cevap

Orijinal değişkenlerin toplam varyansı tüm özdeğerlerin toplamına (\sum \lambda_i) eşit olup, bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler birim uzunlukta ve birbirine diktir.

Varyans-kovaryans matrisinin (

S

) izi (trace), ana köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır ve orijinal değişkenlerin toplam varyansını ifade eder. Lineer cebir kurallarına göre bir matrisin izi, özdeğerlerinin toplamına (

\sum \lambda_i

) eşittir. Temel Bileşenler Analizi'nde kullanılan varyans-kovaryans veya korelasyon matrisleri simetrik matrislerdir. Simetrik matrislerin farklı özdeğerlerine karşılık gelen özvektörleri birbirine daima diktir (ortogonaldir,

e_i' e_j = 0

). Ek olarak, analizde elde edilecek doğrusal kombinasyonların varyansını maksimize etme problemi çözülürken, katsayı vektörlerinin (özvektörlerin) toplam uzunluğunun sonsuza gitmesini engellemek için özvektörlerin birim uzunluğa sahip olması (

e_i' e_i = 1

) kısıtı eklenir. Doğru seçenek tüm bu koşulları eksiksiz yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Varyans-Kovaryans matrisinde toplam varyans tanımını matematiksel eşitliğiyle hatırlamak.

Toplam varyans,

S

matrisinin ana köşegen elemanlarının toplamıdır ve bu matris cebirinde 'iz' (trace) olarak adlandırılır. İz, aynı zamanda özdeğerlerin toplamına (

\sum \lambda_i

) eşittir.

Temel bileşenlerin ne kadar bilgi açıkladığını bulmak için referans alınacak toplam bilginin (varyans) hesaplanması gerekir.

Özdeğerlerin determinant ile olan ilişkisini gözden geçirmek.

Matrisin determinantı özdeğerlerin çarpımına (

\prod \lambda_i

) eşittir ve Çok Değişkenli Analiz'de bu 'genelleştirilmiş varyans'ı verir. Toplam varyans ile aynı kavram değildir.

Çeldiricilerde yer alan determinant ve iz karmaşasını elemek için bu özelliklerin farkını kesinleştirmek şarttır.

Temel bileşen analizi denklemindeki özvektör koşullarını incelemek.

S

simetrik bir matris olduğundan, spektral ayrışım teoremine göre farklı özdeğerlere sahip özvektörler birbirine diktir (ortogonaldir,

e_i' e_j = 0

). Analizin tekil (unique) bir çözüm üretebilmesi için her özvektörün normu (uzunluğu) 1 olacak şekilde (

e_i' e_i = 1

) ölçeklenir.

Bileşenlerin birbirinden bağımsız (ilişkisiz) değişkenler oluşturabilmesi için ortogonallik ve birim uzunluk koşulları zorunludur.

Bu bulguları seçeneklerle karşılaştırmak.

Sadece toplam varyansın iz (özdeğerler toplamı) ile ilişkili olduğunu ve özvektörlerin dik/birim uzunlukta olduğunu eksiksiz ifade eden seçeneğin doğru olduğu belirlenir.

Tüm matematiksel gereklilikleri tek bir ifadede doğru şekilde barındıran seçeneğin teşhisi.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde matrisin izi (toplam varyans) ile özdeğerlerin ilişkisi ve özvektörlerin ortonormallik koşulları.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru