Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bir kamu kurumu, personel performansını değerlendirmek amacıyla 33 farklı kriterden oluşan bir ölçek geliştirmiş ve bu kriterler arasındaki ilişkilerin boyutunu indirgemek için Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaya karar vermiştir. Kriterlerin farklı metriklerle ölçülmüş olması nedeniyle, analiz doğrudan standartlaştırılmış değişkenler (korelasyon matrisi) üzerinden yürütülmüştür.

Yapılan hesaplamalar sonucunda, sisteme ait korelasyon matrisinin determinantının 0.5760.576 olduğu bulunmuştur. Analiz raporunda, birinci temel bileşenin verideki toplam varyansın %60\%60'ını tek başına açıkladığı belirtilmektedir.

Verilen bu bilgilere göre, elde edilecek ikinci temel bileşenin özdeğeri (λ2\lambda_2) kaçtır?

(Not: Özdeğerlerin büyüklük sırasına göre λ1>λ2>λ3\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3 şeklinde modellendiği dikkate alınacaktır.)

  1. 0.80.8Cevap
  2. B
    0.60.6
  3. C
    1.81.8
  4. D
    1.21.2
  5. E
    0.320.32

Cevap

İkinci temel bileşenin özdeğeri 0.80.8'dir.
Temel Bileşenler Analizi (TBA) korelasyon matrisi üzerinden yapıldığında, matrisin izi (toplam varyans) analize giren değişken sayısına (pp) eşittir. Bu soruda 33 kriter olduğu için toplam varyans 33'tür ve özdeğerlerin toplamı λ1+λ2+λ3=3\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 3 olmak zorundadır. Birinci temel bileşen toplam varyansın %60\%60'ını açıkladığına göre, birinci özdeğer λ1=3×0.60=1.8\lambda_1 = 3 \times 0.60 = 1.8 bulunur. Özdeğerlerin matris cebirindeki en önemli özelliklerinden biri, özdeğerler çarpımının matrisin determinantına eşit olmasıdır (λ1×λ2×λ3=∣R∣\lambda_1 \times \lambda_2 \times \lambda_3 = |R|). Soruda determinant 0.5760.576 olarak verilmiştir. Buradan 1.8×λ2×λ3=0.5761.8 \times \lambda_2 \times \lambda_3 = 0.576 eşitliği kurularak λ2×λ3=0.32\lambda_2 \times \lambda_3 = 0.32 bulunur. Toplamları λ2+λ3=3−1.8=1.2\lambda_2 + \lambda_3 = 3 - 1.8 = 1.2 ve çarpımları 0.320.32 olan iki sayı 0.80.8 ve 0.40.4'tür. Özdeğerler büyüklük sırasına dizildiğinden (λ1>λ2>λ3\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3), ikinci temel bileşenin özdeğeri büyük olan kök yani 0.80.8 olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1
Korelasyon matrisinin toplam varyansını (izini) belirleme.
Değişken sayısı p=3p = 3 olduğundan, korelasyon matrisinin ana köşegenindeki elemanların toplamı (iz) 33'tür. Dolayısıyla λ1+λ2+λ3=3\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 3 olur.
Korelasyon matrisinde her bir standartlaştırılmış değişkenin varyansı 1'dir. Temel Bileşenler Analizinde özdeğerlerin toplamı her zaman matrisin izine eşittir.
2
Birinci temel bileşenin özdeğerini (λ1\lambda_1) hesaplama.
Birinci bileşen toplam varyansın %60\%60'ını açıkladığı için: λ1=3×0.60=1.8\lambda_1 = 3 \times 0.60 = 1.8 olarak hesaplanır.
Bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşenin özdeğerinin toplam varyansa (ize) bölünmesiyle bulunur.
3
Kalan iki özdeğerin toplamını ve çarpımını bulma.
Toplam özelliği: λ2+λ3=3−1.8=1.2\lambda_2 + \lambda_3 = 3 - 1.8 = 1.2. Çarpım özelliği: Özdeğerler çarpımı matrisin determinantına eşit olduğundan (∏λi=∣R∣\prod \lambda_i = |R|), 1.8×λ2×λ3=0.5761.8 \times \lambda_2 \times \lambda_3 = 0.576 eşitliğinden λ2×λ3=0.32\lambda_2 \times \lambda_3 = 0.32 elde edilir.
Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımının matrisin determinantına eşit olduğu kuralı kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.
4
İkinci temel bileşenin özdeğerini (λ2\lambda_2) denklem sistemini çözerek belirleme.
Toplamı 1.21.2 ve çarpımı 0.320.32 olan sayılar x2−1.2x+0.32=0x^2 - 1.2x + 0.32 = 0 denkleminin kökleri olan 0.80.8 ve 0.40.4'tür. λ1>λ2>λ3\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3 koşulu gereği λ2=0.8\lambda_2 = 0.8 ve λ3=0.4\lambda_3 = 0.4 olur.
Bileşenler varyansı açıklama güçlerine göre büyükten küçüğe sıralandığı için daha büyük olan kök ikinci bileşenin özdeğeri olarak atanır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Özdeğerlerin İz ve Determinant Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru