Bir araştırmacı, tarımsal verimliliği etkileyen 3 farklı değişken arasındaki ilişkileri in… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, tarımsal verimliliği etkileyen $3$ farklı değişken arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analizde kullanılan $3 \times 3$ boyutlu varyans-kovaryans matrisinin ( $\Sigma$ ) izi (trace) $15$ ve determinantı $45$ 'tir.

Analiz sonucunda elde edilen en büyük iki özdeğer sırasıyla $\lambda_1 = 9$ ve $\lambda_2 = 5$ olarak bulunmuştur.

Bu analizle ilgili,
I. Üçüncü temel bileşene ait özdeğer $\lambda_3 = 1$ 'dir.
II. Birinci temel bileşen, veri setindeki toplam varyansın $\%20$ 'sini açıklamaktadır.
III. Temel bileşenleri elde etmek için kullanılan özvektörler birbirine diktir ( $\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_j = 0$ ) ve birim uzunluktadır ( $\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_i = 1$ ).

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A
Yalnız I
B
I ve II
I ve IIICevap
D
II ve III
E
I, II ve III

Cevap

I ve III

Temel Bileşenler Analizinde (TBA), varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) tüm özdeğerlerin toplamına, determinantı ise özdeğerlerin çarpımına eşittir. İz =

\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 15

olduğundan,

9 + 5 + \lambda_3 = 15 \Rightarrow \lambda_3 = 1

bulunur (I. ifade doğru). Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, özdeğerin iz değerine (toplam varyansa) bölünmesiyle bulunur:

9 / 15 = 0.60

(

\%,60

). II. ifade ise bu değeri

9 / 45 = \%,20

olarak hesapladığı (determinantı kullandığı) için yanlıştır. TBA'da dönüşüm için kullanılan özvektör matrisi ortogonaldir; yani özvektörler birbirine diktir (

\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_j = 0

) ve her birinin uzunluğu 1 olacak şekilde normalize edilir (

\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_i = 1

) (III. ifade doğru). Sonuç olarak doğru ifadeler I ve III'tür.

Adım Adım Çözüm

Üçüncü özdeğerin (

\lambda_3

) hesaplanması.

\lambda_3 = 1

bulunur ve I. ifade doğrulanır.

Varyans-kovaryans matrisinin izi özdeğerlerin toplamına eşittir:

tr(\Sigma) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3

. Verilenlere göre

15 = 9 + 5 + \lambda_3 \Rightarrow \lambda_3 = 1

. (Ayrıca determinant kuralı da bunu doğrular:

45 = 9 \times 5 \times 1

)

Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranının hesaplanması.

Açıklanan varyans oranı

\%60

çıkar, dolayısıyla II. ifade yanlıştır.

Bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşene ait özdeğerin matrisin izine (toplam varyansa) oranlanmasıyla bulunur:

9 / 15 = 0.60

(yani

\%60

). II. ifade paydaya hatalı biçimde determinantı (

45

) alarak

\%20

değerini bulmuştur.

Özvektörlerin kuramsal özelliklerinin değerlendirilmesi.

III. ifade doğrudur.

Temel Bileşenler Analizinde dönüşüm matrisini oluşturan özvektörler, aralarında ilişki olmaması için birbirine dik (ortogonal) ve toplam varyans yapısını bozmamak için birim uzunlukta (normalize) olacak şekilde seçilir.

Anahtar Kavram

Özdeğerlerin İz/Determinant İlişkisi ve Varyans Açıklama Oranı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru