Examkin

Soru

Zorluk: ZorKitle Ortalamasının Tahmini ve Varyansı

Bir liman işletmesinde görevli denetçi, limana demirleyen yük konteynerlerinin ortalama ağırlığını tahmin etmek istemektedir. İadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle seçilen n=50n=50 hacimlik örneklemde, ağırlıkların örneklem ortalamasından sapmalarının kareleri toplamı ∑i=1n(xi−xˉ)2=24.500\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 24.500 olarak hesaplanmıştır.

Denetçi, örneklemin alındığı kitle hacminin çok büyük olduğunu (sonsuz kitle) varsayarak kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansını V1V_1 olarak hesaplamıştır. Daha sonra, örneklemin aslında sadece limandaki N=250N=250 adetlik belirli bir gemi kargosundan seçildiğini (sonlu kitle) fark etmiş ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) dikkate alarak varyansı V2V_2 olarak yeniden doğru şekilde hesaplamıştır.

Buna göre, V1V_1 ve V2V_2 değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    9,89,8 ve 7,847,84
  2. B
    1010 ve 22
  3. 1010 ve 88Cevap
  4. D
    1010 ve 1010
  5. E
    88 ve 1010

Cevap

Sonsuz kitle varsayımında varyans 1010, sonlu kitle varsayımında ise 88 olarak hesaplanmalıdır.
Kitle ortalamasının varyansı tahmin edilirken öncelikle örneklem varyansı hesaplanmalıdır: s2=∑(xi−xˉ)2/(n−1)=24.500/49=500s^2 = \sum(x_i - \bar{x})^2 / (n-1) = 24.500 / 49 = 500. Eğer kitle sonsuz varsayılırsa, düzeltme çarpanına gerek yoktur ve varyans V1=s2/n=500/50=10V_1 = s^2 / n = 500 / 50 = 10 olur. Kitle sonlu (N=250N=250) ise iadesiz seçimde Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) kullanılmalıdır. SKD =(1−n/N)=1−(50/250)=1−0,2=0,8= (1 - n/N) = 1 - (50/250) = 1 - 0,2 = 0,8'dir. Bu durumda gerçek varyans V2=10×0,8=8V_2 = 10 \times 0,8 = 8 olarak elde edilir. Bu nedenle doğru sıralama 1010 ve 88 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem varyansını (s2s^2) hesaplayın.
s2=∑(xi−xˉ)2n−1=24.50050−1=24.50049=500s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} = \frac{24.500}{50 - 1} = \frac{24.500}{49} = 500
Kitle varyansı bilinmediğinden, kitle ortalamasının varyansını tahmin etmek için yansız bir tahmin edici olan örneklem varyansı bulunmalıdır.
2
Sonsuz kitle varsayımı altında kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansını (V1V_1) hesaplayın.
V1=s2n=50050=10V_1 = \frac{s^2}{n} = \frac{500}{50} = 10
Kitle hacmi çok büyük veya sonsuz kabul edildiğinde Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) 11 kabul edilir ve ihmal edilir.
3
Sonlu kitle durumunda örnekleme kesrini (ff) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (1−f1-f) bulun.
f=nN=50250=0,2f = \frac{n}{N} = \frac{50}{250} = 0,2. SKD =1−0,2=0,8= 1 - 0,2 = 0,8
Örneklem, kitle büyüklüğünün %5'inden fazla olduğundan (0,2>0,050,2 > 0,05) iadesiz seçimde varyans tahminine SKD dahil edilmelidir.
4
Sonlu kitle (N=250N=250) varsayımı altında varyansı (V2V_2) hesaplayın.
V2=s2n×(1−f)=10×0,8=8V_2 = \frac{s^2}{n} \times (1 - f) = 10 \times 0,8 = 8
V2V_2 hesaplanırken sonsuz kitle için bulunan standart formül sonucu SKD ile çarpılarak küçültülür.

Anahtar Kavram

İadesiz Basit Rastgele Örneklemede Kitle Ortalamasının Varyansı ve SKD Etkisi

Alternatif Yöntem

Varyans formülündeki SKD çarpanı (N−n)/N(N-n)/N şeklinde de yazılabilir. Bu durumda doğrudan V2=(500/50)×(200/250)=10×(4/5)=8V_2 = (500/50) \times (200/250) = 10 \times (4/5) = 8 işlemiyle de aynı sonuca hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Ortalamasının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru