Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKitle Ortalamasının Tahmini ve Varyansı

Sağlık Bakanlığı tarafından bir kamu hastanesinin hizmet kalitesini ölçmek amacıyla yürütülen bir çalışmada, hastanede yatan N=800N = 800 hastanın ortalama yatış süresini tahmin etmek için iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=80n = 80 hasta seçilmiştir. Seçilen hastaların yatış süreleri üzerinden yapılan hesaplamalarda örneklem ortalaması xˉ=12\bar{x} = 12 gün ve gözlemlerin örneklem ortalamasından sapmalarının kareleri toplamı ∑i=1n(xi−xˉ)2=15.800\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 15.800 gün 2^2 olarak bulunmuştur.

Buna göre, kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı (V^(xˉ))(\widehat{V}(\bar{x})) kaçtır?

  1. 2,25Cevap
  2. B
    2,50
  3. C
    1,50
  4. D
    2,22
  5. E
    0,225

Cevap

İadesiz basit rastgele örneklemede kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı 2,25'tir.
Kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansı hesaplanırken, öncelikle örneklem varyansı s2=15.800/79=200s^2 = 15.800 / 79 = 200 olarak bulunur. Ardından iadesiz seçim yapıldığı için sonlu kitle düzeltme çarpanı olan (1−80/800)=0,90(1 - 80/800) = 0,90 değeri formüle eklenir. V^(xˉ)=(200/80)×0,90=2,25\widehat{V}(\bar{x}) = (200/80) \times 0,90 = 2,25 işlemi ile doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem varyansını (s2s^2) hesaplayın.
s2=∑(xi−xˉ)2n−1=15.80080−1=15.80079=200s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{15.800}{80-1} = \frac{15.800}{79} = 200
Kitle varyansı bilinmediği durumlarda örneklem varyansı, sapma kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle tahmin edilir.
2
Örnekleme kesrini (ff) ve sonlu kitle düzeltme çarpanını (1−f1-f) belirleyin.
f=nN=80800=0,10⇒(1−f)=1−0,10=0,90f = \frac{n}{N} = \frac{80}{800} = 0,10 \Rightarrow (1 - f) = 1 - 0,10 = 0,90
İadesiz seçim yapıldığında ve örneklem kitleye oranla büyük olduğunda (genellikle f>0,05f > 0,05), tahmin varyansını düzeltmek için SKD kullanılmalıdır.
3
Kitle ortalaması tahmin edicisinin varyans formülünü uygulayın.
V^(xˉ)=s2n(1−f)=20080×0,90=2,5×0,9=2,25\widehat{V}(\bar{x}) = \frac{s^2}{n} (1 - f) = \frac{200}{80} \times 0,90 = 2,5 \times 0,9 = 2,25
Tahmin edicinin hassasiyetini ölçen varyans, örneklem varyansının örneklem büyüklüğüne oranı ve kitle kısıtlılık etkisinin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

İadesiz Basit Rastgele Örneklemede Ortalama Tahmininin Varyansı

Alternatif Yöntem

Önce standart hatayı hesaplayıp sonra karesini almak yerine, doğrudan varyans formülünde bileşenleri yerine koymak (özellikle sadeleşebilen sayılar varsa) işlem hatası riskini azaltır. Bu soruda 200/80 = 2,5 ve 2,5 * 0,9 çarpımı pratik bir yoldur.
Tahmini Süre:1m 45s
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Ortalamasının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru