Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOtokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonları

Durağan bir YtY_t zaman serisinin,

Yt=0,6Yt−1−0,5Yt−2+εtY_t = 0,6 Y_{t-1} - 0,5 Y_{t-2} + \varepsilon_t

sürecini izlediği bilinmektedir (burada εt\varepsilon_t, sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir).

Bu sürecin teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) davranışlarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. ACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşırken; PACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur (kesilir).Cevap
  2. B
    ACF, üstel (eksponansiyel) olarak tekdüze biçimde azalarak sıfıra yaklaşırken; PACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olur (kesilir).
  3. C
    ACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olurken (kesilirken); PACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşır.
  4. D
    ACF, ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfır olurken (kesilirken); PACF, üstel (eksponansiyel) olarak tekdüze biçimde azalarak sıfıra yaklaşır.
  5. E
    Hem ACF hem de PACF, hiçbir gecikmede teorik olarak sıfır olmaz ve sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşır.

Cevap

ACF'nin sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yapması ve PACF'nin ikinci gecikmeden sonra kesilmesi
Verilen süreç, iki gecikmeli değere (Yt−1Y_{t-1} ve Yt−2Y_{t-2}) sahip olduğu için bir AR(2) modelidir. Temel kural olarak AR(p) süreçlerinde Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF), 'p' numaralı gecikmeden sonra teorik olarak sıfıra eşitlenir (kesilir). Bu nedenle bu modelde PACF 2. gecikmeden sonra kesilir. Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ise sonsuza kadar sönümlenme eğilimindedir. Ancak ACF'nin sönümlenme şeklini sürecin karakteristik denklemi olan λ2−0,6λ+0,5=0\lambda^2 - 0,6\lambda + 0,5 = 0 belirler. Bu denklemin diskriminantı Δ=(−0,6)2−4(1)(0,5)=−1,64\Delta = (-0,6)^2 - 4(1)(0,5) = -1,64'tür. Diskriminant sıfırdan küçük olduğu için denklemin kökleri karmaşık sayılardır. Teorik olarak, karakteristik kökleri karmaşık sayı olan AR süreçlerinde ACF, üstel olarak tekdüze bir biçimde azalmaz; bunun yerine sönümlenen bir sinüs dalgası (periyodik salınım) biçiminde yavaş yavaş sıfıra yaklaşır. Doğru seçenek her iki teorik özelliği de eksiksiz sunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Zaman serisi modelinin tanımlanması.
Verilen süreç Yt=0,6Yt−1−0,5Yt−2+εtY_t = 0,6 Y_{t-1} - 0,5 Y_{t-2} + \varepsilon_t formunda olduğundan, bu bir ikinci dereceden otoregresif (AR(2)) modelidir.
Modelin türünü belirlemek, ACF ve PACF'nin teorik yapısını saptamak için temel adımdır.
2
PACF'nin (Kısmi Otokorelasyon) genel teorik davranışının belirlenmesi.
AR(2) süreci olduğu için PACF, 2. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir).
Bütün AR(p) süreçlerinde PACF, her zaman model derecesi olan p'ninci gecikmeden sonra kesilme (sıfır olma) özelliği gösterir.
3
ACF'nin (Otokorelasyon) sönümlenme karakteristiğinin analizi için karakteristik denklemin kurulması.
Sürecin fark denklemi formuna karşılık gelen karakteristik denklem λ2−0,6λ+0,5=0\lambda^2 - 0,6\lambda + 0,5 = 0 şeklinde elde edilir.
AR(p) süreçlerinde ACF yavaş yavaş sönümlenir, ancak bu sönümlenmenin şeklini (tekdüze mi yoksa dalgalı mı) karakteristik denklemin kökleri belirler.
4
Karakteristik denklemin diskriminantının (Δ\Delta) hesaplanması ve kök türünün bulunması.
Δ=(−0,6)2−4(1)(0,5)=0,36−2=−1,64\Delta = (-0,6)^2 - 4(1)(0,5) = 0,36 - 2 = -1,64. Diskriminant negatif (Δ<0\Delta < 0) olduğu için karakteristik kökler karmaşık (kompleks) sayılardır.
Karmaşık köklerin varlığı, ACF'nin monoton (tekdüze) bir şekilde azalmayacağını, periyodik bir dalga hareketi yapacağını kanıtlar.
5
ACF'nin kesin davranışının yorumlanması.
Karmaşık kökler sebebiyle ACF, sönümlenen bir sinüs dalgası biçiminde salınım yaparak sıfıra yaklaşır.
Zaman serileri teorisine göre karmaşık eşlenik kökler otokorelasyon fonksiyonunda kosinüs/sinüs tabanlı sönümlü periyodik dalgalanmalar yaratır.

Anahtar Kavram

AR(2) Süreçlerinde ACF/PACF Davranışı ve Karakteristik Kök İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonları

Bu konudan daha fazla soru