Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOtokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonları

Bir araştırmacı, durağan olduğu bilinen bir YtY_t zaman serisi için Box-Jenkins metodolojisinin tanımlama (model belirleme) aşamasında, serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiklerini incelemiştir. Yapılan inceleme sonucunda şu bulgular elde edilmiştir:

I. PACF grafiğinde yalnızca 1. ve 2. gecikmelerdeki katsayılar güven sınırlarının dışında kalarak istatistiksel olarak anlamlı bulunmuş, 3. gecikmeden itibaren katsayılar aniden güven bandı içine düşerek kesilmiştir (cutting off).
II. ACF grafiğinde ise katsayılar aniden kesilmeye uğramamış, sinüs dalgası şeklinde salınımlar yaparak azalan bir sönümlenme (tailing off) davranışı sergilemiştir.

Bu bulgulara göre, seriyi üreten veri üretim süreci ve bu modelin teorik özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir ve sürecin karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayıdır.Cevap
  2. B
    Model bir ikinci dereceden hareketli ortalama, MA(2), sürecidir ve PACF'teki kesilme davranışı hareketli ortalama parametrelerinin tersine çevrilebilirlik (invertibility) şartını sağladığını gösterir.
  3. C
    Model karmaşık bir ARMA sürecidir; çünkü ACF'deki sinüsoidal salınımlar tek başına otoregresif yapı ile açıklanamaz, modele mutlaka bir hareketli ortalama (MA) bileşeni de dâhil edilmelidir.
  4. D
    Model bir AR(2) sürecidir ve ACF'deki sinüsoidal salınımlar, model parametrelerinin ϕ12+4ϕ2>0\phi_1^2 + 4\phi_2 > 0 koşulunu sağladığını, dolayısıyla karakteristik denklemin köklerinin reel sayı olduğunu kanıtlar.
  5. E
    Model durağan olmayan mevsimsel bir yapıya sahiptir; ACF'deki periyodik dalgalanmalar seride deterministik mevsimsellik olduğunu ve seriye mevsimsel fark alınması gerektiğini gösterir.

Cevap

Model bir ikinci dereceden otoregresif, AR(2), sürecidir ve sürecin karakteristik denkleminin kökleri karmaşık (kompleks) sayıdır.
Box-Jenkins model tanımlama aşamasında, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) belirli bir gecikmede aniden kesilmesi (cutting off) ve Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) asimptotik olarak sönümlenmesi (tailing off) sürecin bir Otoregresif (AR) model olduğunu gösterir. PACF tam olarak 2. gecikmeden sonra kesildiği için model kesinlikle AR(2)'dir. Bir AR(2) modelinde ACF'nin monoton bir üstel azalış yerine sinüsoidal (sinüs dalgası şeklinde) salınımlar yaparak sönümlenmesi, karakteristik denklemin diskriminantının sıfırdan küçük olduğunu (ϕ12+4ϕ2<0\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0), yani köklerin karmaşık (kompleks) sayı olduğunu belirtir. Köklerin reel olması durumunda ACF dalgalanmaz, doğrudan sönümlenir.

Adım Adım Çözüm

1
PACF grafiğinin davranışını analiz ederek ana model türünü (AR veya MA) ve derecesini belirleme.
PACF 2. gecikmeden sonra aniden kesildiği (cutting off) için serinin AR(2) olduğuna karar verilir.
Box-Jenkins metodolojisinde, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu'nun (PACF) 'p' gecikmesinden sonra sıfır bandına düşmesi AR(p) sürecinin imzasıdır.
2
ACF grafiğinin genel davranışını kontrol ederek PACF bulgusunu doğrulama.
ACF katsayıları aniden kesilmemiş, sönümlenme (tailing off) göstermiştir. Bu durum AR(2) model tespiti ile tamamen uyumludur.
Sadece Otoregresif bileşen barındıran modellerde (saf AR), ACF'nin zamanla sıfıra yaklaşarak sönümlenmesi teorik bir zorunluluktur.
3
ACF'deki sönümlenmenin şekline (sinüsoidal salınım) odaklanarak model parametrelerinin yapısal özelliklerini tespit etme.
Sönümlenmenin üstel bir eğri yerine sinüs dalgası şeklinde dalgalanarak gerçekleşmesi, karakteristik denklemin köklerinin karmaşık (kompleks) sayı olduğunu gösterir.
İkinci dereceden doğrusal fark denklemlerinin (AR(2) gibi) çözümünde, ancak kökler karmaşık eşlenik (complex conjugate) ise otokorelasyon fonksiyonu trigonometrik salınımlar üretir.

Anahtar Kavram

ARIMA Model Tanımlaması ve ACF/PACF Dinamikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Otokorelasyon (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon (PACF) Fonksiyonları

Bu konudan daha fazla soru