Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir enerji kurumu uzmanı, belirli bir bölgedeki rüzgâr türbinlerinin arızasız çalışma sürelerini (saat cinsinden) modellemektedir. Arızasız çalışma sürelerinin X∼U¨stel(θ)X \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımına sahip olduğu ve bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun x>0x > 0 için f(x)=1θe−x/θf(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta} olduğu bilinmektedir.

Uzman, nn hacimli rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alarak ortalama arızasız çalışma süresini ifade eden θ\theta parametresi için bir güven aralığı oluşturmak istemektedir.

Buna göre, uzmanın kitle parametresi θ\theta için aralık tahmininde kullanması gereken en uygun pivot (eksen) fonksiyonu ve bu fonksiyonun örneklemleme dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Q=2∑i=1nXiθQ = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta} fonksiyonudur ve χ2n2\chi^2_{2n} dağılımına uyar.Cevap
  2. B
    Q=∑i=1nXiQ = \sum_{i=1}^{n} X_i fonksiyonudur ve Gamma(n,θ)Gamma(n, \theta) dağılımına uyar.
  3. C
    Q=Xˉ−θS/nQ = \frac{\bar{X} - \theta}{S/\sqrt{n}} fonksiyonudur ve tn−1t_{n-1} dağılımına uyar.
  4. D
    Q=∑i=1nXiθQ = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta} fonksiyonudur ve χn2\chi^2_n dağılımına uyar.
  5. E
    Q=nXˉθ2Q = \frac{n \bar{X}}{\theta^2} fonksiyonudur ve χn−12\chi^2_{n-1} dağılımına uyar.

Cevap

Kitle parametresi θ\theta için doğru pivot fonksiyonu Q=2∑i=1nXiθQ = \frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_i}{\theta} şeklindedir ve bu fonksiyon χ2n2\chi^2_{2n} (2n serbestlik dereceli Ki-kare) dağılımına uyar.
Doğru pivot fonksiyonu, örneklem verilerini ve bilinmeyen parametreyi matematiksel olarak içeren, ancak örneklemleme dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan fonksiyondur. Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) olduğunda, her bir XiX_i için dönüşüm yapılarak 2Xiθ∼χ22\frac{2X_i}{\theta} \sim \chi^2_2 olduğu bulunur. Bu bağımsız nn adet rastgele değişkenin toplamı alındığında, ∑i=1n2Xiθ=2∑i=1nXiθ\sum_{i=1}^n \frac{2X_i}{\theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\theta} fonksiyonu elde edilir. Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşit bir Ki-kare dağılımına sahip olacağından, bu fonksiyon χ2n2\chi^2_{2n} dağılımına uyar. Dağılım θ\theta'dan bağımsız olduğu için kitle parametresi aralık tahmininde geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1
Pivot fonksiyonunun tanımını ve aranan şartları belirlemek.
Aranan Q(X,θ)Q(X, \theta) fonksiyonu hem örneklem değerlerini hem de θ\theta'yı içermeli, ancak dağılımı θ\theta'dan (ve diğer olası bilinmeyen parametrelerden) tamamen bağımsız olmalıdır.
Aralık tahmini yapabilmek için sınır değerlerinin parametreden bağımsız standart tablolardan elde edilebilir olması gerekir.
2
Xi∼U¨stel(θ)X_i \sim \text{Üstel}(\theta) dağılımı için parametreden bağımsız bir dağılım elde edecek doğrusal dönüşümü uygulamak.
XiX_i rastgele değişkeni üstel dağıldığında, değişkeni kendi parametresine bölüp 2 ile çarptığımızda elde edilen Yi=2XiθY_i = \frac{2X_i}{\theta} rastgele değişkeni 2 serbestlik dereceli Ki-kare (χ22\chi^2_2) dağılımına uyar.
Üstel dağılım (α=1,β=θ\alpha=1, \beta=\theta olan Gamma dağılımı) ile Ki-kare dağılımı (α=k/2,β=2\alpha=k/2, \beta=2 olan Gamma dağılımı) arasındaki ilişkiyi kullanarak parametreden bağımsız bir form elde etmek.
3
Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamını alarak tüm örneklemi kullanan bir fonksiyon oluşturmak.
nn adet bağımsız χ22\chi^2_2 dağılımlı değişkenin toplamı alınır. ∑i=1n2Xiθ=2∑i=1nXiθ\sum_{i=1}^n \frac{2X_i}{\theta} = \frac{2 \sum_{i=1}^n X_i}{\theta} ifadesi, bağımsız Ki-karelerin serbestlik derecelerinin toplanması kuralı gereği χ2n2\chi^2_{2n} dağılımına uyar.
Tüm örneklem bilgisini (yeterli istatistik olan toplamı) işin içine katarak kitle parametresi için en dar (etkin) güven aralığını oluşturabilmek.

Anahtar Kavram

Pivot Fonksiyonu Yöntemi ve Üstel Dağılım Dönüşümü
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru