X_1, X_2, \ldots, X_n rastgele örneklemi, ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 olan normal … — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2$ olan normal dağılımlı bir kitleden alınmıştır. $\mu$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla eksen (pivot) fonksiyonu yöntemi kullanılacaktır.

Kitle varyansı $\sigma^2$ 'nin bilinmediği bu durumda, $\mu$ için uygun eksen fonksiyonu $Q$ ve bu fonksiyonun örneklem dağılımı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
( $\bar{X}$ : Örneklem ortalaması, $S$ : Örneklem standart sapması)

$Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ olup, dağılımı $n-1$ serbestlik dereceli $t$ dağılımıdır.Cevap
B
$Q = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ olup, dağılımı standart normal ( $N(0,1)$ ) dağılımdır.
C
$Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ olup, dağılımı standart normal ( $N(0,1)$ ) dağılımdır.
D
$Q = \bar{X} - \mu$ olup, dağılımı varyansı $\sigma^2/n$ olan normal dağılımdır.
E
$Q = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ olup, dağılımı $n-1$ serbestlik dereceli Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımıdır.

Cevap

\mu

için uygun eksen fonksiyonu

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

formülüne sahiptir ve dağılımı

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımıdır.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için üç temel şartı sağlaması gerekir: 1) Örneklem verisine ve tahmin edilecek parametreye (

\mu

) bağlı olmalıdır. 2) Formülü, kitle varyansı (

\sigma^2

) gibi diğer bilinmeyen parametreleri (nuisance parameters) içermemelidir. 3) Olasılık dağılımı tamamen bilinmeli, parametrelerden bağımsız olmalıdır. Varyans bilinmediğinde kitle standart sapması yerine örneklem standart sapması (

S

) kullanılır. Bu durumda elde edilen

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

fonksiyonu hesaplanabilirdir ve olasılık dağılımı (n-1 serbestlik dereceli

t

dağılımı) hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.

Adım Adım Çözüm

Eksen (pivot) fonksiyonunun temel özelliklerini tanımla.

Eksen fonksiyonu, örneklem değerlerine ve tahmin edilecek parametreye bağlı olmalı; ancak hesaplanmasında başka bir bilinmeyen parametreye ihtiyaç duymamalı ve örneklem dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalıdır.

Doğru fonksiyonu seçmek için yöntemin teorik tanımına ihtiyaç vardır.

Kitle varyansı (

\sigma^2

) bilinmediği durum için uygun dönüşümü belirle.

Standartlaştırma işlemi yapılırken bilinmeyen kitle standart sapması (

\sigma

) yerine örneklem standart sapması (

S

) kullanılır.

Eksen fonksiyonunun hesaplanabilir olması için bilinmeyen parametrelerin tahmin edicilerle değiştirilmesi gerekir.

Elde edilen istatistiğin örneklem dağılımını tespit et.

Normal dağılımlı bir kitleden alınan örneklemde,

\bar{X}

S

kullanılarak elde edilen

Q = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}

istatistiği

n-1

serbestlik dereceli

t

dağılımına uyar.

Güven sınırlarını doğru tablo değerleriyle hesaplayabilmek için kesin dağılımın bilinmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Tanımı ve Dağılımları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru