Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

İstatistiksel sonuç çıkarımında iki kitle varyansının oranına (σ12σ22\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}) ilişkin aralık tahmini yapılacaktır.

X1,X2,…,Xn1X_1, X_2, \ldots, X_{n_1} rastgele örneklemi N(μ1,σ12)N(\mu_1, \sigma_1^2) dağılımından, Y1,Y2,…,Yn2Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n_2} rastgele örneklemi ise N(μ2,σ22)N(\mu_2, \sigma_2^2) dağılımından birbirinden bağımsız olarak alınmıştır. Kitle ortalamaları (μ1,μ2\mu_1, \mu_2) bilinmemektedir.

Örneklem varyansları sırasıyla S12=1n1−1∑i=1n1(Xi−Xˉ)2S_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i - \bar{X})^2 ve S22=1n2−1∑i=1n2(Yi−Yˉ)2S_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2} (Y_i - \bar{Y})^2 olarak tanımlandığına göre, bu varyans oranının güven aralığını elde etmek için kullanılması gereken pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. S12/σ12S22/σ22\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2}Cevap
  2. B
    S12S22\frac{S_1^2}{S_2^2}
  3. C
    (n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2\frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}
  4. D
    S12/n1S22/n2\frac{S_1^2 / n_1}{S_2^2 / n_2}
  5. E
    (n1−1)S12σ12+(n2−1)S22σ22\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} + \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}

Cevap

S12/σ12S22/σ22\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} istatistiği, aranan parametre oranını elde etmek için kullanılabilecek geçerli pivot fonksiyonudur.
Varyansların oranına yönelik güven aralığı oluşturmak için, hem örneklem varyanslarını (S12,S22S_1^2, S_2^2) hem de ilgili parametreleri (σ12,σ22\sigma_1^2, \sigma_2^2) içeren ve dağılımı bilinen bir fonksiyona ihtiyaç vardır. Ki-kare dağılımlı bağımsız iki rastgele değişkenin, serbestlik derecelerine bölünüp oranlanmasıyla elde edilen S12/σ12S22/σ22\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} fonksiyonu, Fn1−1,n2−1F_{n_1-1, n_2-1} dağılımına sahiptir. Bu dağılım tamamen bilindiği ve parametre içermediği için geçerli ve uygun eksen (pivot) fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1
Pivot fonksiyonunun tanımını hatırlamak.
Pivot fonksiyonu, örneklem istatistikleri ve tahmin edilecek parametreyi içeren, ancak olasılık dağılımı hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmayan bir fonksiyondur.
Doğru fonksiyonu seçmek için temel koşulları belirlemek.
2
Normal dağılımlı kitlelerden alınan örneklem varyanslarının kitle varyansına oranının dağılımını belirlemek.
Bilinmeyen ortalama durumunda: (n1−1)S12σ12∼χn1−12\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2_{n_1-1} ve (n2−1)S22σ22∼χn2−12\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2_{n_2-1} dağılımına sahiptir.
Parametre içermeyen standart bir dağılıma ulaşmak için temel istatistikleri kullanmak.
3
İki bağımsız Ki-kare değişkenini kullanarak varyans oranını (σ12/σ22\sigma_1^2/\sigma_2^2) yalıtacak bir dağılım oluşturmak.
Bağımsız iki Ki-kare değişkeni kendi serbestlik derecelerine bölünüp oranlandığında F dağılımı elde edilir: S12/σ12S22/σ22∼Fn1−1,n2−1\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F_{n_1-1, n_2-1}.
Hem aranan parametre oranını barındıran hem de dağılımı tamamen bilinen bir denklem kurmak.
4
Elde edilen fonksiyonun pivot (eksen) koşullarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
İlgili oran S12S_1^2, S22S_2^2 istatistiklerini ve hedef parametre olan σ12/σ22\sigma_1^2/\sigma_2^2'yi ters orantılı olarak içermektedir. Dağılımı olan Fn1−1,n2−1F_{n_1-1, n_2-1} ise hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir.
Bulunan ifadenin aralık tahmini amacıyla eşitsizlik içine yerleştirilebilecek geçerli bir pivot olduğunu doğrulamak.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansının Oranı İçin Pivot Fonksiyonu ve F Dağılımı
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru