Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir finansal risk uzmanı, belirli bir varlığın günlük maksimum kayıp oranlarını analiz etmektedir. Yapılan modellemelere göre bu kayıp oranları, (0,θ)(0, \theta) aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılıma sahiptir. Uzman, nn günlük rastgele bir örneklem almış ve bu örnekleme ait en büyük sıra istatistiğini X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n) olarak belirlemiştir.

Uzman, θ\theta parametresine yönelik bir güven aralığı tahmininde bulunabilmek için X(n)X_{(n)} istatistiğine dayalı bir pivot (eksen) fonksiyonu tanımlamak istemektedir.

Buna göre, aşağıda verilen fonksiyonlardan hangisi θ\theta parametresi için dağılımı bilinmeyen parametreden tamamen bağımsız olan geçerli bir pivot fonksiyondur?

  1. X(n)θ\frac{X_{(n)}}{\theta}Cevap
  2. B
    X(n)−θX_{(n)} - \theta
  3. C
    X(n)2θ\frac{X_{(n)}^2}{\theta}
  4. D
    X(n)θ\frac{X_{(n)}}{\sqrt{\theta}}
  5. E
    n(X(n)−θ)n(X_{(n)} - \theta)

Cevap

X(n)θ\frac{X_{(n)}}{\theta} ifadesi, sahip olduğu olasılık dağılımı bilinmeyen parametreden (θ\theta) tamamen bağımsız olduğu için geçerli bir pivot fonksiyondur.
Geçerli olan oransal dönüşüm seçeneği doğru cevaptır. Çünkü X(n)X_{(n)}'in dağılımındaki θn\theta^n paydası, verinin θ\theta'ya bölünmesiyle elde edilen dönüşümde tam olarak sadeleşir. Böylece elde edilen yeni istatistiğin kümülatif dağılımı (unu^n) sadece örneklem çapı nn'e bağlı hale gelir ve θ\theta'dan arınmış bir pivot fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pivot fonksiyonunun kavramsal tanımını hatırlama
Bir fonksiyonun aralık tahmininde pivot olarak kullanılabilmesi için, örneklem değerlerine ve bilinmeyen parametreye bağlı olması, ancak olasılık dağılımının (PDF/CDF) bilinmeyen parametreyi hiçbir şekilde içermemesi gerekir.
Güven aralığı sınırlarını (kritik değerleri) hesaplarken, olasılık eşitliklerinde bilinmeyen bir parametrenin bulunmaması şarttır.
2
En büyük sıra istatistiği X(n)X_{(n)}'in olasılık dağılımını belirleme
Xi∼U(0,θ)X_i \sim U(0, \theta) olduğundan, X(n)X_{(n)}'in kümülatif dağılım fonksiyonu (CDF) 0<x<θ0 < x < \theta aralığında F(x)=(xθ)nF(x) = \left(\frac{x}{\theta}\right)^n olarak elde edilir.
Seçeneklerdeki aday fonksiyonların dağılımını test edebilmek için öncelikle temel alınan istatistiğin dağılımı bulunmalıdır.
3
Doğru oransal dönüşümü uygulayarak bağımsızlığı test etme
U=X(n)θU = \frac{X_{(n)}}{\theta} dönüşümü yapıldığında, kümülatif dağılım fonksiyonu P(X(n)θ≤u)=P(X(n)≤uθ)=(uθθ)n=unP\left(\frac{X_{(n)}}{\theta} \le u\right) = P(X_{(n)} \le u\theta) = \left(\frac{u\theta}{\theta}\right)^n = u^n (0<u<10 < u < 1) olarak bulunur.
Elde edilen unu^n dağılımı θ\theta'dan tamamen arınmıştır. Toplamsal veya farklı kuvvetlerdeki dönüşümler (diğer seçenekler) test edildiğinde θ\theta'nın sadeleşmediği görülür.

Anahtar Kavram

Pivot fonksiyonlarının dağılımsal bağımsızlığı ve en büyük sıra istatistiği dönüşümleri
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru