Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir elektronik sistemde yer alan sensörlerin arıza verme süresi (saat cinsinden) XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)=xθ2e−x/θ,x>0,θ>0f(x; \theta) = \frac{x}{\theta^2} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

Bu sensörlerden rastgele seçilen nn tanesinin arıza süreleri bağımsız olarak X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n olarak gözlemlenmiştir. θ\theta parametresi için eksen (pivot) fonksiyonu yöntemiyle bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi θ\theta için küçük örneklem özelliklerini de koruyan kesin (tam) bir eksen fonksiyonudur ve bu fonksiyonun doğru dağılımı nedir?

  1. A
    Q=Xˉ−2θS/n∼t(n−1)Q = \frac{\bar{X} - 2\theta}{S / \sqrt{n}} \sim t_{(n-1)}
  2. B
    Q=2θ∑i=1nXi∼χ(2n)2Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(2n)}
  3. Q=2θ∑i=1nXi∼χ(4n)2Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}Cevap
  4. D
    Q=∑i=1nXi−2nθ2nθ∼N(0,1)Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - 2n\theta}{\sqrt{2n}\theta} \sim N(0, 1)
  5. E
    Q=1θ2∑i=1nXi∼χ(4n)2Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)}

Cevap

Doğru eksen fonksiyonu, 4n serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımına uyan Q = (2/θ) * ΣX_i istatistiğidir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu, şekil parametresi 2 ve ölçek parametresi θ\theta olan bir Gamma dağılımını ifade etmektedir. Bağımsız nn adet Gamma(2,θ)\text{Gamma}(2, \theta) rastgele değişkeninin toplamı, yine bir Gamma dağılımı olan Gamma(2n,θ)\text{Gamma}(2n, \theta)'ya eşittir. Olasılık teorisinden bilindiği üzere, Y∼Gamma(k,θ)Y \sim \text{Gamma}(k, \theta) formundaki bir değişken için 2Yθ\frac{2Y}{\theta} dönüşümü yapıldığında elde edilen yeni değişken serbestlik derecesi 2k2k olan Ki-kare (χ2\chi^2) dağılımına uyar. Burada k=2nk = 2n olduğundan serbestlik derecesi 2(2n)=4n2(2n) = 4n olur. Dağılımın artık θ\theta parametresine bağlı olmaması, onu tam ve kesin bir eksen (pivot) fonksiyonu yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Kitle dağılımının parametrik ailesini ve özelliklerini belirle.
f(x;θ)=1θ2xe−x/θf(x; \theta) = \frac{1}{\theta^2} x e^{-x/\theta} fonksiyonu, α=2\alpha=2 (şekil) ve β=θ\beta=\theta (ölçek) parametrelerine sahip Gamma dağılımıdır. Yani her bir Xi∼Gamma(2,θ)X_i \sim \text{Gamma}(2, \theta).
Dağılım ailesini bilmek, örneklem toplamının tam dağılımını türetmek için gereklidir.
2
Örneklem değerlerinin toplamının (Y=∑i=1nXiY = \sum_{i=1}^n X_i) dağılımını bul.
Bağımsız Gamma değişkenlerinin toplamı kuralına göre, Y∼Gamma(n⋅2,θ)=Gamma(2n,θ)Y \sim \text{Gamma}(n \cdot 2, \theta) = \text{Gamma}(2n, \theta) olur.
Eksen fonksiyonları genellikle yeterli istatistikler üzerinden (burada verilerin toplamı) inşa edilir.
3
Gamma dağılımından parametreden bağımsız bir dağılıma (Ki-kare) dönüşüm yap.
Eğer bir Y∼Gamma(k,θ)Y \sim \text{Gamma}(k, \theta) ise, Q=2Yθ∼χ(2k)2Q = \frac{2Y}{\theta} \sim \chi^2_{(2k)} kuralı geçerlidir.
Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının θ\theta'dan tamamen bağımsız olması gerekir.
4
k=2nk=2n değerini formülde yerine koyarak nihai eksen fonksiyonunu elde et.
k=2nk = 2n olduğundan, 2k=4n2k = 4n olur. Dolayısıyla Q=2θ∑i=1nXi∼χ(4n)2Q = \frac{2}{\theta} \sum_{i=1}^{n} X_i \sim \chi^2_{(4n)} elde edilir.
Bu istatistik hem gözlemleri (XiX_i) hem de bilinmeyen parametreyi (θ\theta) içerir ve dağılımı (χ4n2\chi^2_{4n}) parametreden tamamen bağımsızdır.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi ile Aralık Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru