Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n rastgele örneklemi, ortalaması μ\mu ve varyansı σ2\sigma^2 olan normal dağılımlı bir kitleden çekilmiştir. Kitleye ait μ\mu ve σ2\sigma^2 parametrelerinin her ikisi de bilinmemektedir.

Bu örneklem kullanılarak σ2\sigma^2 parametresi için bir güven aralığı oluşturulmak istenmektedir. (S2S^2 örneklem varyansını, Xˉ\bar{X} örneklem ortalamasını göstermektedir.)

Buna göre, σ2\sigma^2 parametresi için aralık tahmininde kullanılabilecek uygun bir pivot (eksen) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}Cevap
  2. B
    ∑i=1n(Xi−μ)2σ2\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2}{\sigma^2}
  3. C
    ∑i=1n(Xi−Xˉ)2\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  4. D
    Xˉ−μS/n\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}
  5. E
    (n−1)S2σ\frac{(n-1)S^2}{\sigma}

Cevap

Dağılımı χn−12\chi^2_{n-1} olan ve sadece veriler ile hedeflenen σ2\sigma^2 parametresine bağlı olan (n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} fonksiyonudur.
Bir Q(X,θ)Q(X, \theta) fonksiyonunun θ\theta için pivot olabilmesi için iki temel şartı eşzamanlı sağlaması gerekir: Birincisi, ifade sadece örneklem verisi XX'e ve aralığı bulunacak hedeflenen θ\theta parametresine bağlı olmalıdır (bilinmeyen başka hiçbir rahatsız edici/nuisance parametre içermemelidir). İkincisi, Q(X,θ)Q(X, \theta)'nın örneklemleme dağılımı, θ\theta dahil hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalı, tamamen bilinen sabit bir dağılım olmalıdır. Doğru seçenekteki (n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} fonksiyonu, sadece hesaplanabilen örneklem varyansını (S2S^2) ve hedef parametre σ2\sigma^2'yi içerir. Olasılık dağılımı ise serbestlik derecesi (n−1)(n-1) olan Ki-kare (χn−12\chi^2_{n-1}) dağılımıdır. Bu dağılım μ\mu veya σ2\sigma^2'ye bağlı olmayan sabit bir dağılım olduğundan geçerli bir pivot fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

1
Pivot fonksiyonu olabilme şartlarını hatırla.
1) Fonksiyon sadece örneklem verisine ve tahmin edilecek hedeflenen parametreye bağlı olmalı (başka bilinmeyen parametre içermemeli). 2) Fonksiyonun olasılık dağılımı, hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı olmamalı.
Güven aralığı alt ve üst sınırlarını veriye bağlı olarak çözebilmek için bu matematiksel özellikler zorunludur.
2
Tahmin edilecek parametreyi ve bilinen/bilinmeyenleri belirle.
Hedef parametre σ2\sigma^2'dir. Verilenlere göre kitle ortalaması μ\mu bilinmemektedir.
Hangi parametreye göre güven aralığı oluşturulacağını bilmek, doğru test istatistiğini seçmek için gereklidir.
3
Normal dağılımdan gelen örneklem varyansı ile kitle varyansı arasındaki ilişkiyi yaz.
Normal kitlede (n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} istatistiğinin dağılımı, (n−1)(n-1) serbestlik dereceli Ki-kare (χn−12\chi^2_{n-1}) dağılımına uyar.
Varyans analizinde standart olarak kullanılan örneklem dağılımı teoremidir.
4
Bulunan istatistiği pivot şartlarına göre test et.
(n−1)S2σ2\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} fonksiyonu sadece örneklem verisini (S2S^2) ve hedef parametreyi (σ2\sigma^2) içerir, bilinmeyen μ\mu'yü içermez. Ayrıca dağılımı olan χn−12\chi^2_{n-1}, hiçbir bilinmeyen parametreye bağlı değildir (tamamen bilinen bir dağılımdır).
Her iki pivot şartı da sağlandığı için bu fonksiyon σ2\sigma^2 için güvenilir bir pivot (eksen) fonksiyonudur.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonunun Tanımı ve Özellikleri
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru