Bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini temsil eden X ve Y sürekli rastgele… — KPSS İstatistik

Bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini temsil eden $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 3x, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ , $0 < y < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{3}{2}(1 - y^2)$ Cevap
B
$3y^2$
C
$\frac{3}{2}y^2$
D
$\frac{3}{2}$
E
$3y(1 - y)$

Cevap

\frac{3}{2}(1 - y^2)

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

x

üzerinden integrali alınmalıdır.

0 < y < x < 1

eşitsizliğinden, belirli bir

y

değeri için

x

'in alt sınırı

y

, üst sınırı ise

1

'dir. Bu nedenle

\int_{y}^{1} 3x \, dx

işlemi yapılarak

\frac{3}{2}(1 - y^2)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Y

'nin marjinal dağılımını bulmak için integrasyon değişkenini ve sınırlarını belirleme

İntegral

x

değişkenine göre alınmalıdır. Eşitsizlikten (

0 < y < x < 1

), sabit bir

y

değeri için

x

'in sınırları alt sınır

y

ve üst sınır

1

olacak şekilde belirlenir.

Y

'nin marjinal yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

, ortak yoğunluk fonksiyonunun tüm

x

değerleri üzerinden integrali alınarak bulunur.

Belirlenen sınırlar ile integrali hesaplama

f_Y(y) = \int_{y}^{1} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{y}^{1}

Sürekli rastgele değişkenler için marjinal olasılık fonksiyonu tanımının uygulanması.

İntegral sonucunu değerlendirme

f_Y(y) = \frac{3(1)^2}{2} - \frac{3(y)^2}{2} = \frac{3}{2}(1 - y^2)

Sınır değerlerinin yerine konularak cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi.

Anahtar Kavram

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda ortak yoğunluk fonksiyonundan tek değişkene göre integral alarak marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun elde edilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular