Bir endüstriyel tesiste kullanılan özel bir jeneratörün bileşenleri üzerinde yapılan bir d… — KPSS İstatistik

Bir endüstriyel tesiste kullanılan özel bir jeneratörün bileşenleri üzerinde yapılan bir dayanıklılık testinde, iki ardışık hata türü incelenmektedir. Jeneratörün çalışmaya başlamasından itibaren ilk küçük arızayı verme süresi $X$ (yıl) ve ilk büyük arızayı verme süresi $Y$ (yıl) olmak üzere, bu iki sürekli rastgele değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}xy, & 0 < x < y < 2 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, jeneratörün büyük arıza yapma süresini temsil eden $Y$ değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{y^3}{4}, \quad 0 < y < 2$ Cevap
B
$y - \frac{y^3}{4}, \quad 0 < y < 2$
C
$y, \quad 0 < y < 2$
D
$\frac{y^2}{4}, \quad 0 < y < 2$
E
$\frac{y^3}{2}, \quad 0 < y < 2$

Cevap

Doğru yanıt, integral işleminin doğru sınırlarla (0'dan y'ye) yapılması sonucu elde edilen

f_Y(y) = \frac{y^3}{4}

ifadesini içeren seçenektir.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu verildiğinde,

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

'yi bulmak için

f(x,y)

fonksiyonu

x

'in tanımlı olduğu bölge üzerinden integre edilmelidir. Eşitsizlikten (

0 < x < y < 2

) anlaşıldığı üzere, belirli bir

y

değeri için

x

'in sınırları

0

ile

y

arasındadır. Buna göre integral işlemi;

f_Y(y) = \int_{0}^{y} \frac{1}{2}xy \, dx = \frac{y}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{y} = \frac{y^3}{4}

olarak hesaplanır.

y

'nin tanımlı olduğu genel aralık ise

0 < y < 2

'dir.

Adım Adım Çözüm

Y

rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu formülünü kurun.

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx

Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun diğer değişkenin tüm olası değerleri üzerinden integre edilmesiyle bulunur.

Tanım kümesine (

0 < x < y < 2

) göre

x

değişkeninin alt ve üst sınırlarını belirleyin.

Belirli bir

y

değeri için,

x

'in alabileceği değerler

0

ile

y

arasındadır. İntegral sınırları

x=0

'dan

x=y

'ye olacaktır.

İntegralin sınırları, ortak dağılımın geçerli olduğu üçgensel bölgeden doğru bir şekilde çıkarılmalıdır.

Belirlenen sınırlar dahilinde integrali hesaplayın.

\int_{0}^{y} \frac{1}{2}xy \, dx = \frac{y}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{y} = \frac{y}{2} \left( \frac{y^2}{2} - 0 \right) = \frac{y^3}{4}

x

'e göre integral alınırken

y

sabit gibi düşünülür ve belirli integral sınırları yerine konarak marjinal fonksiyon elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Dağılımı ve İntegral Sınırları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular