Bir meteoroloji istasyonunda incelenen iki iklimsel değişken olan bulutluluk oranı (X) ve … — KPSS İstatistik

Bir meteoroloji istasyonunda incelenen iki iklimsel değişken olan bulutluluk oranı ( $X$ ) ve bağıl nem oranı ( $Y$ ), sürekli rastgele değişkenler olarak modellenmiştir. Bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{5}{2}y, & 0 < x < 1 \text{ ve } x^2 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, bağıl nem oranının ( $Y$ ) marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu, $f_Y(y)$ , aşağıdakilerden hangisidir?

$f_Y(y) = \frac{5}{2} y^{3/2}, \quad 0 < y < 1$ Cevap
B
$f_Y(y) = \frac{5}{2} y, \quad 0 < y < 1$
C
$f_Y(y) = \frac{5}{4} (1 - y^4), \quad 0 < y < 1$
D
$f_Y(y) = \frac{5}{2} (y - y^3), \quad 0 < y < 1$
E
$f_Y(y) = \frac{5}{2} y^2, \quad 0 < y < 1$

Cevap

Bağıl nem oranının marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = \frac{5}{2} y^{3/2}, \quad 0 < y < 1

şeklindedir.

Bağıl nem oranının (

Y

) marjinal dağılımını bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulutluluk oranı (

X

) üzerinden integrali alınmalıdır. İntegral bölgesi

0 < x < 1

x^2 < y < 1

eşitsizlikleriyle tanımlanmıştır. Bu bölgede belirli bir

y

değeri için

x

'in değişim aralığı

0 < x < \sqrt{y}

olmaktadır.

f(x,y) = \frac{5}{2}y

ifadesinin

x

değişkenine göre

0

'dan

\sqrt{y}

'ye kadar integrali alındığında sonuç

\frac{5}{2}y \cdot \sqrt{y} = \frac{5}{2}y^{3/2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen tanımlım bölgesindeki eşitsizlikleri kullanarak

X

'in entegrasyon sınırlarını

Y

cinsinden ifade etme.

Tanım bölgesi

0 < x < 1

x^2 < y < 1

olarak verilmiştir.

Y

'nin belirli bir değeri için

X

'in alt sınırı

0

, üst sınırı ise

x^2 < y \implies x < \sqrt{y}

eşitsizliğinden dolayı

\sqrt{y}

olur.

Bir marjinal fonksiyonu elde etmek için diğer değişken üzerinden doğru sınırlar kullanılarak entegral alınması zorunludur.

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (

f_Y(y)

) bulmak için

X

'e göre entegral formülünü kurma.

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dx = \int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{5}{2}y \,dx

Marjinal dağılımlar, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun istenmeyen değişkenin tüm tanım aralığı üzerinden entegre edilmesiyle bulunur.

Belirli entegrali hesaplama.

\int_{0}^{\sqrt{y}} \frac{5}{2}y \,dx = \frac{5}{2}y \cdot [x]_{0}^{\sqrt{y}} = \frac{5}{2}y (\sqrt{y} - 0) = \frac{5}{2}y^{3/2}

Entegral çözülerek aranan nihai marjinal yoğunluk fonksiyonuna ulaşılır. Sınırlar

0 < y < 1

olarak korunur.

Anahtar Kavram

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Marjinal Olasılık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular