Bir üretim bandında üretilen iki farklı sensörün tepki süreleri (milisaniye cinsinden uygu… — KPSS İstatistik

Bir üretim bandında üretilen iki farklı sensörün tepki süreleri (milisaniye cinsinden uygun bir ölçekte) $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir.

Sensörlerin tepki sürelerine ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y) = \begin{cases} 6x, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ sensörünün tepki süresine ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_X(x)$ ( $0 < x < 1$ aralığı için) aşağıdakilerden hangisidir?

$6x(1-x)$ Cevap
B
$3x^2$
C
$6x^2$
D
$6x$
E
$3(1-x^2)$

Cevap

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

6x(1-x)

şeklindedir.

Doğru seçenek olan

6x(1-x)

X

'in marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulmak amacıyla

y

'ye göre integral alınırken,

x < y < 1

eşitsizliği dikkate alınarak alt sınırın

x

, üst sınırın ise

1

olarak doğru şekilde entegre edilmesiyle (

6x[1-x]

) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan

X

'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için kullanılacak integral yapısının kurulması.

f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy

X

'in marjinal dağılımı, ortak fonksiyonun diğer değişken olan

Y

üzerinden tüm olası değerleri için entegre edilmesiyle elde edilir.

Tanım kümesine bakılarak

y

değişkeni için uygun integral sınırlarının belirlenmesi.

Tanım aralığı

0 < x < y < 1

olarak verilmiştir. Belirli ve sabit bir

x

değeri için

y

'nin alabileceği değerler

x

'ten başlar ve

1

'de biter. Sınırlar: alt sınır =

x

, üst sınır =

1

Bölge eşitsizliği

x < y < 1

yapısındadır. Bu da

y

'nin hiçbir zaman

x

'ten küçük olamayacağını gösterir.

Belirlenen sınırlar kullanılarak belirli integralin hesaplanması.

f_X(x) = \int_x^1 6x \, dy = 6x \int_x^1 1 \, dy = 6x [y]_x^1 = 6x(1-x)

y

'ye göre integral alınırken

6x

ifadesi bir sabit gibi davranır ve integral dışına çarpan olarak alınabilir. Sonrasında

y

sınırları yerine konularak sonuç bulunur.

Anahtar Kavram

İki değişkenli sürekli ortak olasılık dağılımlarında, sınırlı ve değişkenlerin birbirine bağımlı olduğu bölgelerde marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun integral ile hesabı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular