Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMarjinal Olasılık Dağılımları

XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y)={2x,0<y<1 ve y<x<2y0,dig˘er f(x,y) = \begin{cases} 2x, & 0 < y < 1 \text{ ve } y < x < 2y \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Buna göre, XX rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu fX(x)f_X(x) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. fX(x)={x2,0<x≤12x−x2,1<x<20,dig˘er f_X(x) = \begin{cases} x^2, & 0 < x \le 1 \\ 2x - x^2, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases} Cevap
  2. B
    fX(x)={x2,0<x<20,dig˘er f_X(x) = \begin{cases} x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  3. C
    fX(x)={2x−x2,0<x<20,dig˘er f_X(x) = \begin{cases} 2x - x^2, & 0 < x < 2 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  4. D
    fX(x)={3x2,0<x<10,dig˘er f_X(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}
  5. E
    fX(x)={2x2,0<x<10,dig˘er f_X(x) = \begin{cases} 2x^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer} \end{cases}

Cevap

Doğru cevap, bölgenin x=1x=1 noktasında iki parçaya ayrıldığı ve her parça için ayrı integral sınırlarının uygulandığı parçalı fonksiyondur: 0<x≤10 < x \le 1 için x2x^2, 1<x<21 < x < 2 için 2x−x22x - x^2.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan XX'in marjinalini elde etmek için yy'ye göre integral alınmalıdır. y<x<2yy < x < 2y ve 0<y<10 < y < 1 eşitsizlikleri birleştirildiğinde yy'nin sınırları x/2<y<min⁡(1,x)x/2 < y < \min(1, x) olur. xx, 00 ile 22 arasında değer alabilir. x=1x=1 noktasında min⁡(1,x)\min(1, x) ifadesi değiştiğinden fonksiyon iki parçada incelenir: 0<x≤10 < x \le 1 için integral sınırları x/2x/2'den xx'e, 1<x<21 < x < 2 için ise x/2x/2'den 11'edir. Her iki integral doğru hesaplandığında doğru cevaptaki parçalı fonksiyon elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX'in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için f(x,y)f(x,y) fonksiyonunun yy'ye göre integrali alınmalıdır.
fX(x)=∫f(x,y)dyf_X(x) = \int f(x,y) dy
Bir değişkenin marjinal dağılımı, ortak dağılım fonksiyonunun diğer değişken üzerinden tüm tanım aralığı boyunca entegre edilmesiyle bulunur.
2
Verilen eşitsizliklerden yy'nin xx'e bağlı sınırlarını belirleyin.
y<x<2y  ⟹  y<xy < x < 2y \implies y < x ve x/2<yx/2 < y. Ayrıca 0<y<10 < y < 1 verilmiştir. Dolayısıyla yy'nin aralığı: max⁡(0,x/2)<y<min⁡(1,x)\max(0, x/2) < y < \min(1, x) olur.
İntegral sınırlarını doğru yazabilmek için tüm eşitsizlik kısıtlarının kesişim kümesini bulmak şarttır.
3
XX'in tanım kümesini tespit edin ve integrali iki parçaya bölün.
xx, yy'nin uç değerlerine göre (0,2)(0, 2) aralığında değer alır. x≤1x \le 1 için min⁡(1,x)=x\min(1,x)=x ve x>1x > 1 için min⁡(1,x)=1\min(1,x)=1'dir.
yy'nin üst sınırı x=1x=1 noktasında karakter değiştirmektedir. Bu nedenle integral parçalı olarak ele alınmalıdır.
4
0<x≤10 < x \le 1 durumu için integrali hesaplayın.
fX(x)=∫x/2x2x dy=2x[y]x/2x=2x(x−x2)=2x(x2)=x2f_X(x) = \int_{x/2}^{x} 2x \, dy = 2x[y]_{x/2}^{x} = 2x(x - \frac{x}{2}) = 2x(\frac{x}{2}) = x^2
Bu bölgede yy'nin alt sınırı x/2x/2, üst sınırı xx'tir.
5
1<x<21 < x < 2 durumu için integrali hesaplayın.
fX(x)=∫x/212x dy=2x[y]x/21=2x(1−x2)=2x−x2f_X(x) = \int_{x/2}^{1} 2x \, dy = 2x[y]_{x/2}^{1} = 2x(1 - \frac{x}{2}) = 2x - x^2
Bu bölgede yy'nin alt sınırı x/2x/2, üst sınırı ise 11'dir.

Anahtar Kavram

Bağımlı Sınırlara Sahip Ortak Dağılımlarda Marjinalizasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Marjinal Olasılık Dağılımları