Examkin

Soru

Zorluk: KolayBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir üretim bandından çıkan ürünlerin kusurlu olma olasılığı θ\theta parametresi ile modellenmektedir. Bu parametre için önsel (prior) dağılım Beta(1,1)\text{Beta}(1, 1) olarak belirlenmiştir. Kontrol edilen bir ürünün kusurlu (x=1x=1) olduğu gözlemlendiğine göre; karesel hata kayıp fonksiyonu altında θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    11
  3. 23\frac{2}{3}Cevap
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

Bayes tahmin edicisi 23\frac{2}{3} olarak hesaplanır.
Sonsal dağılım Beta(2,1)\text{Beta}(2, 1) olarak bulunur. Karesel hata kaybı kullanıldığında Bayes tahmin edicisi bu dağılımın ortalaması olan 2/(2+1)=2/32/(2+1) = 2/3 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel dağılımın ve verinin tanımlanması
Önsel: Beta(α=1,β=1)\text{Beta}(\alpha=1, \beta=1), Veri: n=1,x=1n=1, x=1
Bayesyen güncelleme için başlangıç parametrelerini ve gözlem sonucunu belirlemek gerekir.
2
Sonsal (posterior) dağılımın güncellenmesi
θ∣x∼Beta(α+x,β+n−x)=Beta(1+1,1+0)=Beta(2,1)\theta | x \sim \text{Beta}(\alpha+x, \beta+n-x) = \text{Beta}(1+1, 1+0) = \text{Beta}(2, 1)
Beta önsel ve Bernoulli olabilirlik fonksiyonu eşlenik (conjugate) olduğu için sonsal dağılım yine bir Beta dağılımıdır.
3
Bayes tahmin edicisinin hesaplanması
E[θ∣x]=α′α′+β′=22+1=23E[\theta | x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}
Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değeridir.

Anahtar Kavram

Beta-Bernoulli eşlenik dağılım çiftinde, sonsal dağılım parametreleri α′=α+bas¸arı\alpha' = \alpha + \text{başarı} ve β′=β+bas¸arısızlık\beta' = \beta + \text{başarısızlık} şeklindedir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru