Examkin

Soru

Zorluk: ZorBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir kamu kurumunda sunulan belirli bir elektronik hizmetin tamamlanma süresi (gün olarak) U(0,θ)U(0, \theta) sürekli birörnek (üniform) dağılımına uymaktadır. Kurum, bu hizmete ait rastgele seçilmiş nn adet işlemden oluşan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n örneklemine sahiptir.

Hizmet süresinin teorik üst sınırı olan θ\theta parametresi bilinmemekte olup, uzman görüşleri doğrultusunda θ\theta'nın önsel (prior) dağılımı aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip Pareto dağılımı olarak modellenmiştir:

π(θ)=αx0αθα+1,θ≥x0>0 \pi(\theta) = \frac{\alpha x_0^\alpha}{\theta^{\alpha+1}}, \quad \theta \ge x_0 > 0

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığında θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: X(n)=max⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(n)} = \max(X_1, X_2, \dots, X_n) örneklem maksimumunu göstermektedir ve α+n>1\alpha + n > 1 varsayılacaktır.)

  1. α+nα+n−1max⁡(x0,X(n))\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})Cevap
  2. B
    α+n−1α+nmax⁡(x0,X(n))\frac{\alpha + n - 1}{\alpha + n} \max(x_0, X_{(n)})
  3. C
    αα−1max⁡(x0,X(n))\frac{\alpha}{\alpha - 1} \max(x_0, X_{(n)})
  4. D
    α+n+1α+nmax⁡(x0,X(n))\frac{\alpha + n + 1}{\alpha + n} \max(x_0, X_{(n)})
  5. E
    α+nα+n−1X(n)\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} X_{(n)}

Cevap

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın beklenen değerine eşittir ve bu değer α+nα+n−1max⁡(x0,X(n))\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)}) olarak bulunur.
Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir. U(0,θ)U(0, \theta) dağılımı için olabilirlik fonksiyonu L(θ∣X)∝θ−nI(θ≥X(n))L(\theta|X) \propto \theta^{-n} I(\theta \ge X_{(n)}) şeklindedir. Önsel dağılım olan Pareto dağılımı π(θ)∝θ−(α+1)I(θ≥x0)\pi(\theta) \propto \theta^{-(\alpha+1)} I(\theta \ge x_0) ile çarpıldığında sonsal dağılım π(θ∣X)∝θ−(n+α+1)I(θ≥max⁡(x0,X(n)))\pi(\theta|X) \propto \theta^{-(n+\alpha+1)} I(\theta \ge \max(x_0, X_{(n)})) elde edilir. Bu ifade, şekil parametresi α+n\alpha + n ve alt sınır parametresi max⁡(x0,X(n))\max(x_0, X_{(n)}) olan yeni bir Pareto dağılımını belirtir. Pareto (α∗,y)(\alpha^*, y) dağılımının beklenen değeri α∗α∗−1y\frac{\alpha^*}{\alpha^* - 1} y olduğundan, doğru cevap α+nα+n−1max⁡(x0,X(n))\frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)}) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturmak.
L(θ∣X)=1θnI(θ≥X(n))L(\theta|X) = \frac{1}{\theta^n} I(\theta \ge X_{(n)})
Uniform dağılımda nn hacimli örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, örneklem maksimumunun θ\theta'dan küçük veya eşit olması koşuluna bağlıdır.
2
Sonsal (posterior) dağılımı elde etmek için önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonunu çarpmak.
π(θ∣X)∝1θnI(θ≥X(n))⋅αx0αθα+1I(θ≥x0)∝1θn+α+1I(θ≥max⁡(x0,X(n)))\pi(\theta|X) \propto \frac{1}{\theta^n} I(\theta \ge X_{(n)}) \cdot \frac{\alpha x_0^\alpha}{\theta^{\alpha+1}} I(\theta \ge x_0) \propto \frac{1}{\theta^{n+\alpha+1}} I(\theta \ge \max(x_0, X_{(n)}))
Bayes teoremine göre sonsal dağılım, olabilirlik fonksiyonu ile önsel dağılımın çarpımı ile orantılıdır. İki alt sınır koşulu birleşerek max⁡(x0,X(n))\max(x_0, X_{(n)}) sınırını oluşturur.
3
Sonsal dağılımın türünü ve parametrelerini belirlemek.
Sonsal dağılım, şekil parametresi α∗=α+n\alpha^* = \alpha + n ve ölçek (alt sınır) parametresi y=max⁡(x0,X(n))y = \max(x_0, X_{(n)}) olan Pareto dağılımıdır.
Elde edilen ifade, Pareto(α∗,y\alpha^*, y) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu yapısına birebir uymaktadır.
4
Karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmin edicisini hesaplamak.
E[θ∣X]=α∗α∗−1y=α+nα+n−1max⁡(x0,X(n))E[\theta|X] = \frac{\alpha^*}{\alpha^* - 1} y = \frac{\alpha + n}{\alpha + n - 1} \max(x_0, X_{(n)})
Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değeridir.

Anahtar Kavram

Pareto Önsel Dağılımı ile Uniform Dağılımın Sonsal Dağılımı ve Bayes Tahmin Edicisi
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru