Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir üretim sürecinde belirli bir makinenin hatalı ürün üretme olasılığı θ\theta olarak tanımlanmıştır. Geçmiş tecrübelere dayanarak, θ\theta parametresinin önsel (prior) dağılımının α=2\alpha=2 ve β=2\beta=2 parametreli Beta dağılımı olduğu varsayılmaktadır.

Bu makinenin ürettiği ürünler arasından rastgele seçilen 6 üründen 1 tanesinin hatalı olduğu gözlemlenmiştir.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığında θ\theta parametresi için Bayes tahmin edicisinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 310\frac{3}{10}Cevap
  2. B
    16\frac{1}{6}
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. D
    710\frac{7}{10}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Bayes tahmin edicisi, karesel hata kayıp fonksiyonu altında sonsal dağılımın beklenen değerine eşit olduğundan 310\frac{3}{10} olarak bulunur.
Karesel hata kayıp (squared error loss) fonksiyonu altında parametrenin Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değerine (ortalamasına) eşittir. Önsel dağılım Beta(2,2)Beta(2, 2) ve olabilirlik fonksiyonu Binomial(n=6,x=1)Binomial(n=6, x=1) olduğunda, sonsal dağılım Beta-Binom eşleniği (conjugate) özelliğinden dolayı Beta(2+1,2+6−1)=Beta(3,7)Beta(2+1, 2+6-1) = Beta(3, 7) olarak güncellenir. Beta(a,b)Beta(a, b) dağılımının beklenen değeri a/(a+b)a / (a+b)'dir. Bu nedenle θ\theta için Bayes tahmin edicisi 33+7=310\frac{3}{3+7} = \frac{3}{10} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel (prior) dağılımı ve parametrelerini belirle.
θ∼Beta(α=2,β=2)\theta \sim Beta(\alpha=2, \beta=2)
Sonsal dağılımı bulmak için başlangıç parametrelerine ihtiyaç vardır.
2
Olabilirlik (likelihood) fonksiyonu için örneklem bilgisini özetle.
n=6n=6 denemede x=1x=1 başarılı (hatalı) ürün gözlemlenmiştir. Dağılım Binom'dur.
Örneklem verisi önsel dağılımı güncellemek için kullanılacaktır.
3
Sonsal (posterior) dağılımı hesapla.
Beta-Binom eşleniği özelliğinden sonsal dağılım Beta(α+x,β+n−x)=Beta(2+1,2+6−1)=Beta(3,7)Beta(\alpha+x, \beta+n-x) = Beta(2+1, 2+6-1) = Beta(3, 7) olur.
Bayes tahmin edicisi sonsal dağılım üzerinden elde edilir.
4
Kayıp fonksiyonuna uygun istatistiği belirle ve hesapla.
Karesel hata kayıp fonksiyonu, sonsal dağılımın beklenen değerini (ortalama) gerektirir. E(θ∣X)=α∗α∗+β∗=33+7=310E(\theta|X) = \frac{\alpha^*}{\alpha^* + \beta^*} = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}.
Karesel hata kayıplarında riski minimize eden tahmin edici sonsal ortalamadır.

Anahtar Kavram

Bayes Tahmin Yöntemi ve Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru