Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen müşteri şikayetlerinin sayısı, θ\theta parametreli Poisson dağılımına uymaktadır. Çağrı merkezi yöneticisi, θ\theta parametresinin önsel (prior) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu;

f(θ)=23Γ(3)θ3−1e−2θ,θ>0f(\theta) = \frac{2^3}{\Gamma(3)} \theta^{3-1} e^{-2\theta}, \quad \theta > 0

olarak belirlemiştir. Rastgele seçilen 3 farklı günde söz konusu saat diliminde sırasıyla 2, 4 ve 3 şikayet gelmiştir.

Yönetici, θ\theta parametresini tahmin etmek için aşağıdaki ağırlıklandırılmış karesel hata kayıp fonksiyonunu kullanmaktadır:

L(θ,δ)=θ(θ−δ)2L(\theta, \delta) = \theta (\theta - \delta)^2

Buna göre, θ\theta parametresinin Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    115\frac{11}{5}
  2. B
    125\frac{12}{5}
  3. 135\frac{13}{5}Cevap
  4. D
    145\frac{14}{5}
  5. E
    33

Cevap

Ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonunu minimize eden Bayes tahmini 135\frac{13}{5} olarak bulunur.
Verilen ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonu L(θ,δ)=θ(θ−δ)2L(\theta, \delta) = \theta (\theta - \delta)^2, riski minimize etmek için beklenen değeri alındığında δ\delta değişkenine göre türevi sıfıra eşitlenen bir yapı oluşturur. Türev alındığında δ=E[θ2∣X]/E[θ∣X]\delta = E[\theta^2|X] / E[\theta|X] denklemi ortaya çıkar. θ∼Gamma(12,5)\theta \sim Gamma(12, 5) sonsal dağılımı için bu oran (156/25)/(12/5)=13/5(156/25) / (12/5) = 13/5 olarak hesaplanır ve doğru tahmini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel (prior) dağılımın ve örneklem bilgisinin (olabilirlik) tanımlanması.
Önsel dağılım: θ∼Gamma(α=3,β=2)\theta \sim Gamma(\alpha=3, \beta=2). Örneklem: n=3n=3 ve toplam gözlem S=∑xi=2+4+3=9S = \sum x_i = 2 + 4 + 3 = 9.
Poisson dağılımı için Gamma dağılımı eşlenik (conjugate) önsel dağılımdır.
2
Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerinin hesaplanması.
Sonsal dağılım: θ∣X∼Gamma(α+S,β+n)  ⟹  Gamma(3+9,2+3)=Gamma(12,5)\theta|X \sim Gamma(\alpha + S, \beta + n) \implies Gamma(3+9, 2+3) = Gamma(12, 5).
Eşlenik dağılım kuralına göre önsel parametreleri örneklem istatistikleriyle güncellenir.
3
Verilen kayıp fonksiyonuna göre Bayes riskinin minimize edilmesi.
E[L(θ,δ)∣X]=E[θ3−2δθ2+δ2θ∣X]E[L(\theta, \delta)|X] = E[\theta^3 - 2\delta\theta^2 + \delta^2\theta | X] fonksiyonunun δ\delta'ya göre türevi alınıp sıfıra eşitlenir: −2E[θ2∣X]+2δE[θ∣X]=0  ⟹  δ∗=E[θ2∣X]E[θ∣X]-2E[\theta^2|X] + 2\delta E[\theta|X] = 0 \implies \delta^* = \frac{E[\theta^2|X]}{E[\theta|X]}.
Bayes tahmin edicisi, beklenen sonsal kaybı (risk fonksiyonunu) minimize eden değerdir.
4
Sonsal dağılımın momentleri kullanılarak oranın hesaplanması.
Gamma(A,B)Gamma(A, B) için E[θ]=ABE[\theta] = \frac{A}{B} ve E[θ2]=A(A+1)B2E[\theta^2] = \frac{A(A+1)}{B^2} formülleriyle δ∗=12×13/2512/5=135\delta^* = \frac{12 \times 13 / 25}{12 / 5} = \frac{13}{5} bulunur.
Beklenen değerleri yerine koyarak matematiksel işlemi sonuçlandırmak.

Anahtar Kavram

Bayes Nokta Tahmini ve Risk Fonksiyonunun Optimizasyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru