Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir malzeme bilimcisi, yeni üretilen sentetik bir elyafın çekme mukavemetini ölçmektedir. Çekme mukavemeti değerlerinin (XX), ortalaması bilinmeyen θ\theta ve varyansı σ2=16\sigma^2 = 16 olan normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Benzer elyaflar üzerinde yapılan önceki çalışmalara dayanarak, θ\theta parametresinin önsel (prior) dağılımının, ortalaması μ=10\mu = 10 ve varyansı τ2=4\tau^2 = 4 olan bir normal dağılım olduğu modellenmiştir.

Bilim insanı, yeni elyaftan rastgele seçilen n=5n = 5 adet numuneyi test etmiş ve örneklem ortalamasını xˉ=28\bar{x} = 28 olarak hesaplamıştır.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) altında θ\theta parametresinin Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    13,6
  2. B
    18
  3. C
    19
  4. 20Cevap
  5. E
    28

Cevap

Doğru yanıt 20 değerini gösteren seçenektir.
Karesel hata kayıp fonksiyonunda Bayes tahmini, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir. Verilen Normal-Normal modelinde hassasiyet ağırlıklı formül kullanıldığında, (5⋅4⋅28+16⋅10)/(5⋅4+16)=720/36=20(5 \cdot 4 \cdot 28 + 16 \cdot 10) / (5 \cdot 4 + 16) = 720 / 36 = 20 sonucu doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Kayıp fonksiyonuna göre Bayes tahmin edicisinin formunu belirlemek.
Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmini, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir (E[θ∣x]E[\theta | x]).
Sonsal risk fonksiyonunu minimize eden tahmin edici, karesel kayıp için sonsal dağılımın ortalamasıdır.
2
Normal-Normal eşlenik (conjugate) modeli için sonsal beklenen değer formülünü belirlemek.
Sonsal beklenen değer formülü: μpost=nτ2xˉ+σ2μnτ2+σ2\mu_{post} = \frac{n \tau^2 \bar{x} + \sigma^2 \mu}{n \tau^2 + \sigma^2}
Varyansı bilinen normal kitle ve normal önsel dağılım varsayımı altında, sonsal dağılım da normaldir ve beklenen değeri (ortalaması) bu şekilde hesaplanır.
3
Verilen parametreleri formülde yerine koyarak matematiksel işlemi tamamlamak.
μpost=5⋅4⋅28+16⋅105⋅4+16=560+16036=72036=20\mu_{post} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 28 + 16 \cdot 10}{5 \cdot 4 + 16} = \frac{560 + 160}{36} = \frac{720}{36} = 20
Değerlerin formüle yerleştirilmesiyle nihai Bayes tahminine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Normal-Normal Eşlenik Modelinde Sonsal Beklenen Değer
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru