Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir gümrük müdürlüğünde incelenen belirli bir ürün grubuna ait beyannamelerdeki hata oranı θ\theta parametresi ile ifade edilmektedir. Uzmanlar, geçmiş verilere dayanarak θ\theta parametresinin önsel (prior) dağılımının α=2\alpha=2 ve β=2\beta=2 parametreli Beta dağılımına uyduğunu varsaymaktadır.

Rastgele seçilen 44 beyanname incelendiğinde, sadece 11 beyannamede hata tespit edilmiştir. Kurum, hata sürecindeki belirsizliği ölçmek amacıyla g(θ)=θ(1−θ)g(\theta) = \theta(1-\theta) fonksiyonunun karesel hata (squared error) kayıp fonksiyonu altındaki Bayes tahmin edicisini elde etmek istemektedir.

Buna göre, g(θ)g(\theta) fonksiyonunun Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1564\frac{15}{64}
  2. B
    29\frac{2}{9}
  3. 524\frac{5}{24}Cevap
  4. D
    316\frac{3}{16}
  5. E
    14\frac{1}{4}

Cevap

Bayes tahmini, karesel hata kayıp fonksiyonu altında parametrenin sonsal (posterior) beklenen değerine eşittir. Sonuç 524\frac{5}{24} olarak bulunur.
Karesel hata (squared error) kayıp fonksiyonu kullanıldığında, herhangi bir g(θ)g(\theta) fonksiyonunun Bayes tahmini, o fonksiyonun sonsal dağılım altındaki beklenen değeridir (E[g(θ)∣X]E[g(\theta)|X]). Beta(2,2) önsel dağılımı ve 4 denemede 1 başarı veren Binom olabilirlik fonksiyonu birleştirildiğinde sonsal dağılım Beta(3,5) olur. Bu dağılım altında E[θ(1−θ)∣X]E[\theta(1-\theta)|X] değeri, Beta dağılımının moment özellikleri gereği 3×5(3+5)(3+5+1)=1572=524\frac{3 \times 5}{(3+5)(3+5+1)} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunu belirle.
Önsel dağılım θ∼Beta(2,2)\theta \sim Beta(2,2)'dir. n=4n=4 denemede x=1x=1 başarı gözlendiği için olabilirlik fonksiyonu L(θ)∝θ1(1−θ)3L(\theta) \propto \theta^1 (1-\theta)^3 şeklindedir.
Sonsal dağılımı bulmak için Bayes teoremi gereği önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonu çarpılmalıdır.
2
Sonsal (posterior) dağılımı elde et.
f(θ∣X)∝θ2−1(1−θ)2−1⋅θ1(1−θ)3=θ3−1(1−θ)5−1f(\theta|X) \propto \theta^{2-1}(1-\theta)^{2-1} \cdot \theta^1(1-\theta)^3 = \theta^{3-1}(1-\theta)^{5-1}. Buradan sonsal dağılımın Beta(3,5)Beta(3, 5) olduğu görülür.
Eşlenik (conjugate) önsel kullanıldığından, Beta(α,β)Beta(\alpha, \beta) ile Binom çarpımı Beta(α+x,β+n−x)Beta(\alpha+x, \beta+n-x) dağılımını verir.
3
Karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmin edicisinin kuralını uygula.
Karesel hata kayıp fonksiyonu altında g(θ)g(\theta) fonksiyonunun Bayes tahmin edicisi, g(θ)g(\theta)'nın sonsal beklenen değeridir: g^Bayes=E[θ(1−θ)∣X]\hat{g}_{Bayes} = E[\theta(1-\theta)|X].
Parametrenin kendisinin değil, lineer olmayan bir fonksiyonunun (g(θ)g(\theta)) tahmini istenmektedir. E[g(θ)]≠g(E[θ])E[g(\theta)] \neq g(E[\theta]) eşitsizliği dikkate alınmalıdır.
4
Beta(3,5)Beta(3,5) dağılımı altında beklenen değeri hesapla.
E[θ(1−θ)∣X]=∫01θ(1−θ)θ3−1(1−θ)5−1B(3,5)dθ=B(4,6)B(3,5)=Γ(4)Γ(6)/Γ(10)Γ(3)Γ(5)/Γ(8)=3×58×9=1572=524E[\theta(1-\theta)|X] = \int_0^1 \theta(1-\theta) \frac{\theta^{3-1}(1-\theta)^{5-1}}{B(3,5)} d\theta = \frac{B(4,6)}{B(3,5)} = \frac{\Gamma(4)\Gamma(6)/\Gamma(10)}{\Gamma(3)\Gamma(5)/\Gamma(8)} = \frac{3 \times 5}{8 \times 9} = \frac{15}{72} = \frac{5}{24}.
Beta(α∗,β∗)Beta(\alpha^*, \beta^*) dağılımında E[θ(1−θ)]=α∗β∗(α∗+β∗)(α∗+β∗+1)E[\theta(1-\theta)] = \frac{\alpha^* \beta^*}{(\alpha^*+\beta^*)(\alpha^*+\beta^*+1)} formülüyle integral doğrudan çözülebilir.

Anahtar Kavram

Bayes Tahmin Yöntemi (Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu ve Parametrik Fonksiyonların Tahmini)
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru