Examkin

Soru

Zorluk: ZorKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir kamu kurumu uzmanı, bölgesel enflasyon oranını (θ\theta) tahmin etmek için istatistiksel karar teorisine dayalı bir model kurmaktadır. Parametrenin tahmini için karesel kayıp fonksiyonu, L(θ,δ)=(θ−δ)2L(\theta, \delta) = (\theta - \delta)^2, kullanılmaktadır.

Uzman, θ\theta parametresi için uygun gördüğü bir π(θ)\pi(\theta) önsel dağılımını kullanarak Bayes tahmin edicisi δB\delta_B'yi elde etmiştir. Daha sonra bu tahmin edicinin risk fonksiyonunu, R(θ,δB)R(\theta, \delta_B), hesaplamış ve elde ettiği sonucun tüm θ\theta değerleri için θ\theta'dan bağımsız pozitif bir cc sabitine eşit olduğunu gözlemlemiştir:
R(θ,δB)=cR(\theta, \delta_B) = c

İstatistiksel karar teorisi kurallarına göre, bu tahmin edici ve önsel dağılım ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. δB\delta_B tahmin edicisi minimax tahmin edicidir ve kullanılan π(θ)\pi(\theta) önsel dağılımı en elverişsiz (least favorable) önsel dağılımdır.Cevap
  2. B
    δB\delta_B'nin risk fonksiyonu sabit olduğu için tahmin edicinin yansız (unbiased) ve minimum varyanslı olduğu kanıtlanmıştır, ancak minimaxlık söylenemez.
  3. C
    Kullanılan π(θ)\pi(\theta) önsel dağılımı kesinlikle bilgi içermeyen (non-informative) bir dağılımdır ve δB\delta_B'nin Bayes riski sıfıra eşittir.
  4. D
    δB\delta_B minimax tahmin edicidir, ancak π(θ)\pi(\theta)'nın en elverişsiz önsel dağılım olması için risk fonksiyonunun θ\theta'ya göre katı dışbükey (strictly convex) olması gerekir.
  5. E
    Riskin parametreden bağımsız sabit bir değer olması, δB\delta_B'nin sadece tutarlı (consistent) bir tahmin edici olduğunu gösterir, minimaxlık garantisi vermez.

Cevap

Bayes tahmin edicisinin risk fonksiyonunun tüm parametre uzayında sabit olması durumunda bu tahmin edicinin minimax olduğu ve kullanılan önsel dağılımın en elverişsiz önsel dağılım olduğunu belirten ifadedir.
İstatistiksel karar teorisinde kanıtlanmış temel bir teorem şudur: Eğer δ\delta bir Bayes tahmin edicisi ise ve onun risk fonksiyonu R(θ,δ)R(\theta, \delta) tüm olası θ\theta değerleri için sabit bir cc değerine eşitse, o zaman δ\delta kesinlikle bir minimax tahmin edicidir. Dahası, δ\delta'nın hesaplandığı π(θ)\pi(\theta) önsel dağılımı, tüm olasılık dağılımları arasında Bayes riskini maksimize ettiği için 'en elverişsiz (least favorable) önsel dağılım' olarak adlandırılır. Sorudaki senaryo eksiksiz bir biçimde bu teoremin tanımını vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Bayes tahmin edicisinin risk özelliklerini analiz etme
Senaryoda δB\delta_B'nin bir Bayes tahmin edicisi olduğu ve risk fonksiyonunun R(θ,δB)=cR(\theta, \delta_B) = c şeklinde sabit olduğu tespit edilmiştir.
İstatistiksel karar teorisindeki temel teoremleri uygulayabilmek için öncelikle hipotezlerin ve verilenlerin netleştirilmesi gerekir.
2
Minimaxlık teoremini (Bayes tahmin edicisi ilişkisi) uygulama
Bir tahmin edici Bayes tahmin edicisi ise ve risk fonksiyonu tüm parametre uzayında sabit bir değere sahipse, bu tahmin edici supremum riskini (maksimum riski) minimize ettiği için minimax bir tahmin edicidir.
Sabit riskli Bayes tahmin edicisi, kendi supremum riskinin Bayes riskine eşit olduğu tek teorik durumdur.
3
Önsel dağılımın karar teorisindeki durumunu belirleme
Sabit riske sahip bir Bayes tahmin edicisi üreten önsel dağılım, Bayes riskini (sabit risk cc) maksimize ettiği için 'en elverişsiz (least favorable) önsel dağılım' olarak tanımlanır.
Minimax tahmin edicisinin riski, her zaman en elverişsiz önsel dağılımın Bayes riskine eşittir.

Anahtar Kavram

Sabit Riskli Bayes Tahmin Edicisi ve En Elverişsiz Önsel Dağılım Teoremi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru