Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir sigorta şirketinin belirli bir bölgede karşılaştığı günlük trafik kazası sayısı, bilinmeyen λ>0\lambda > 0 parametreli Poisson dağılımı ile modellenmektedir. λ\lambda parametresini tahmin etmek için nn günlük rastgele bir örneklem olan X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n alınmış ve tahmin edici olarak örneklem ortalaması (λ^=Xˉ\hat{\lambda} = \bar{X}) önerilmiştir.

Bu tahmin problemi için kullanılacak kayıp fonksiyonu, tahmin hatasını parametrenin büyüklüğüne göre ölçeklendiren
L(λ,λ^)=(λ^−λ)2λL(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{(\hat{\lambda} - \lambda)^2}{\lambda}
şeklinde belirlenmiştir.

Buna göre, belirtilen kayıp fonksiyonu altında λ^\hat{\lambda} tahmin edicisinin risk fonksiyonu R(λ,λ^)R(\lambda, \hat{\lambda}) ve bu tahmin edicinin istatistiksel özelliği aşağıdakilerden hangisinde doğru ifade edilmiştir?

  1. A
    R(λ,λ^)=λnR(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{\lambda}{n}'dir ve risk parametreye bağlı olarak sınırsız artabildiği için minimax bir tahmin edici olamaz.
  2. B
    R(λ,λ^)=1nλR(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{1}{n\lambda}'dır ve risk λ\lambda sıfıra yaklaşırken sonsuza gittiği için minimax bir tahmin edici olamaz.
  3. C
    R(λ,λ^)=1n2R(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{1}{n^2}'dir ve risk sabit olmasına rağmen örneklem çapının karesiyle azaldığı için minimax değildir.
  4. R(λ,λ^)=1nR(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{1}{n}'dir ve risk parametreden bağımsız (sabit) olduğu için uygunluk (admissibility) koşulu altında bir minimax tahmin edicidir.Cevap
  5. E
    R(λ,λ^)=λ2nR(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{n}'dir ve risk karesel olarak arttığı için minimax özelliği göstermez.

Cevap

Tahmin edicinin risk fonksiyonu 1/n olarak hesaplanır. Risk, bilinmeyen parametreden (λ) bağımsız ve sabit olduğu için, bu tahmin edici (uygunluk şartı altında) minimax özellik gösterir.
Risk fonksiyonu, kayıp fonksiyonunun beklenen değeri hesaplanarak bulunur: R(λ,λ^)=E[(Xˉ−λ)2λ]=1λE[(Xˉ−λ)2]R(\lambda, \hat{\lambda}) = E\left[\frac{(\bar{X} - \lambda)^2}{\lambda}\right] = \frac{1}{\lambda} E[(\bar{X} - \lambda)^2]. Burada E[(Xˉ−λ)2]E[(\bar{X} - \lambda)^2] ifadesi Xˉ\bar{X}'in varyansını ifade eder. Kitle Poisson dağıldığı için kitle varyansı λ\lambda'dır ve Xˉ\bar{X}'in varyansı λ/n\lambda/n olur. Formülde yerine konulduğunda risk 1λ⋅λn=1n\frac{1}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{n} olarak elde edilir. Bu risk değeri tahmin edilecek parametre olan λ\lambda'ya bağlı olmadığından 'sabit risk' söz konusudur. Karar teorisinde, sabit bir riske sahip olan ve uygun (admissible) olan bir tahmin edici aynı zamanda minimax tahmin edicidir.

Adım Adım Çözüm

1
Risk fonksiyonunun matematiksel tanımını kayıp fonksiyonu üzerinden yazmak.
R(λ,λ^)=E[L(λ,λ^)]=E[(Xˉ−λ)2λ]R(\lambda, \hat{\lambda}) = E[L(\lambda, \hat{\lambda})] = E\left[\frac{(\bar{X} - \lambda)^2}{\lambda}\right]
Risk fonksiyonu, kullanılan kayıp fonksiyonunun örneklem uzayı üzerindeki beklenen değeridir.
2
Beklenen değer operatörünün özelliklerini kullanarak ifadeyi düzenlemek.
R(λ,λ^)=1λE[(Xˉ−λ)2]R(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{1}{\lambda} E[(\bar{X} - \lambda)^2]
λ\lambda sabit bir parametre olduğu için beklenen değer operatörünün dışına katsayı olarak alınabilir.
3
İfadede yer alan E[(Xˉ−λ)2]E[(\bar{X} - \lambda)^2] teriminin neye karşılık geldiğini belirlemek ve Poisson dağılımı için hesaplamak.
E[(Xˉ−λ)2]=Var(Xˉ)=Var(X)n=λnE[(\bar{X} - \lambda)^2] = Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\lambda}{n}
Örneklem ortalaması yansız bir tahmin edici olduğu için hatasının karesel beklenen değeri doğrudan varyansına eşittir ve Poisson dağılımında kitle varyansı λ\lambda'dır.
4
Bulunan varyans değerini risk formülünde yerine yazmak ve minimax özelliğini yorumlamak.
R(λ,λ^)=1λ⋅λn=1nR(\lambda, \hat{\lambda}) = \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{n}
Sonuç λ\lambda'dan bağımsızdır (sabittir). İstatistiksel karar teorisine göre sabit riske sahip olan uygun (admissible) bir tahmin edici, maksimum riskini minimize ettiği için minimax tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Kayıp Fonksiyonları ve Sabit Riskli Minimax Tahmin Ediciler
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru