Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bilinmeyen bir θ∈[0,1]\theta \in [0, 1] parametresine sahip Bernoulli dağılımından n=1n=1 hacimli bir XX örneklemi çekilmiştir. θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla δ(X)=2X+14\delta(X) = \frac{2X + 1}{4} tahmin edicisi tanımlanmıştır. Karesel kayıp fonksiyonunun L(θ,δ)=(δ−θ)2L(\theta, \delta) = (\delta - \theta)^2 olduğu bilindiğine göre, bu tahmin edicinin risk fonksiyonu R(θ,δ)R(\theta, \delta) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1/16Cevap
  2. B
    θ(1−θ)\theta(1-\theta)
  3. C
    θ(1−θ)4\frac{\theta(1-\theta)}{4}
  4. D
    1/4
  5. E
    θ2\theta^2

Cevap

Risk fonksiyonu, parametreden bağımsız olarak sabit 1/16 değerine eşittir.
Söz konusu tahmin edicinin riski hesaplandığında θ\theta parametresine bağlı tüm terimler birbirini sadeleştirmekte ve sonuç sabit 1/16 çıkmaktadır. Bu durum, tahmin edicinin 'sabit risk' özelliğine sahip olduğunu ve Bernoulli dağılımı için minimax tahmin edici adaylarından biri olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Risk fonksiyonu tanımını yazma
R(θ,δ)=E[(δ−θ)2]R(\theta, \delta) = E[(\delta - \theta)^2] olarak tanımlanır.
Karesel kayıp fonksiyonu altında risk, Hata Kareler Ortalaması'na (MSE) eşittir.
2
Dağılım özelliklerini belirleme
X∼Bernoulli(θ)X \sim Bernoulli(\theta) olduğu için E[X]=θE[X] = \theta ve E[X2]=θE[X^2] = \theta (çünkü 12θ+02(1−θ)=θ1^2\theta + 0^2(1-\theta) = \theta) olur.
Risk hesaplamasındaki beklenen değer işlemleri için kitlenin momentleri gereklidir.
3
Tahmin ediciyi formülde yerine koyma ve genişletme
R(θ,δ)=E[(2X+14−θ)2]=116E[(2X+1−4θ)2]R(\theta, \delta) = E[\left(\frac{2X+1}{4} - \theta\right)^2] = \frac{1}{16} E[(2X + 1 - 4\theta)^2] elde edilir.
Hesaplamayı kolaylaştırmak için paydadaki sabit dışarı karesi alınarak çıkarılır.
4
Karesel ifadeyi açma ve beklenen değeri uygulama
116E[4X2+1+16θ2+4X−16θX−8θ]=116[4θ+1+16θ2+4θ−16θ2−8θ]\frac{1}{16} E[4X^2 + 1 + 16\theta^2 + 4X - 16\theta X - 8\theta] = \frac{1}{16} [4\theta + 1 + 16\theta^2 + 4\theta - 16\theta^2 - 8\theta] olur.
Beklenen değer operatörünün doğrusal özelliği kullanılarak her terimin beklenen değeri alınır.
5
Sadeleştirme ve nihai sonucu bulma
116[(4θ+4θ−8θ)+(16θ2−16θ2)+1]=116\frac{1}{16} [ (4\theta + 4\theta - 8\theta) + (16\theta^2 - 16\theta^2) + 1 ] = \frac{1}{16} bulunur.
θ\theta içeren tüm terimler birbirini yok eder ve risk fonksiyonu sabit bir değere dönüşür.

Anahtar Kavram

Risk fonksiyonu, bir tahmin edicinin kayıp fonksiyonu altındaki beklenen değeridir ve karesel kayıp durumunda MSE(δ)=Var(δ)+[Bias(δ)]2MSE(\delta) = Var(\delta) + [Bias(\delta)]^2 formülüyle de hesaplanabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru