Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir araştırmacı, θ>0\theta > 0 parametresi ile modellenen bir kitleye ait XX rastgele değişkenini gözlemlemektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x;θ)={2xθ2,0<x<θ0,dig˘er durumlardaf(x; \theta) = \begin{cases} \frac{2x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak verilmiştir.

Araştırmacı, θ\theta parametresinin tahmini için δ(X)=cX\delta(X) = cX formunda bir tahmin edici sınıfı kullanacaktır. Tahmin edicinin performansı, ölçekten bağımsız karesel kayıp fonksiyonu olan

L(θ,δ)=(δ−θθ)2L(\theta, \delta) = \left( \frac{\delta - \theta}{\theta} \right)^2

kullanılarak değerlendirilecektir.

Buna göre, bu tahmin edicinin risk fonksiyonunu (beklenen kaybını) tüm θ\theta değerleri için minimum yapan cc sabiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    11
  2. B
    54\frac{5}{4}
  3. 43\frac{4}{3}Cevap
  4. D
    32\frac{3}{2}
  5. E
    22

Cevap

Risk fonksiyonunu tüm θ\theta değerleri için minimum yapan sabit 43\frac{4}{3}'tür.
Doğru yanıt, L(θ,δ)L(\theta, \delta) kayıp fonksiyonunun beklenen değerini (risk fonksiyonunu) XX'in yoğunluk fonksiyonuna göre hesaplayıp cc parametresine göre türevini alarak minimize etmemizle elde edilen 43\frac{4}{3} değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Kayıp fonksiyonunun beklenen değerini alarak risk fonksiyonunu tanımla.
R(θ,c)=E[L(θ,δ)]=E[(cX−θθ)2]R(\theta, c) = E[L(\theta, \delta)] = E\left[ \left( \frac{cX - \theta}{\theta} \right)^2 \right]
Risk fonksiyonu, bir tahmin edicinin seçilen kayıp fonksiyonu altındaki beklenen kaybıdır.
2
Karesel ifadeyi açarak risk fonksiyonunu XX'in momentleri cinsinden yaz.
R(θ,c)=E[c2X2−2cθX+θ2θ2]=c2θ2E[X2]−2cθE[X]+1R(\theta, c) = E\left[ \frac{c^2X^2 - 2c\theta X + \theta^2}{\theta^2} \right] = \frac{c^2}{\theta^2}E[X^2] - \frac{2c}{\theta}E[X] + 1
Beklenen değer operatörünün doğrusallık özelliğini kullanarak işlemi ayrıştırmak gerekir.
3
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak birinci ve ikinci momentleri (E[X]E[X] ve E[X2]E[X^2]) hesapla.
E[X]=∫0θx2xθ2dx=2θ3E[X] = \int_0^\theta x \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{2\theta}{3} ve E[X2]=∫0θx22xθ2dx=θ22E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \frac{2x}{\theta^2} dx = \frac{\theta^2}{2}
Formüldeki terimleri bulmak için ilgili dağılımın integral hesapları tamamlanmalıdır.
4
Bulunan momentleri risk fonksiyonunda yerine yaz ve basitleştir.
R(θ,c)=c2θ2(θ22)−2cθ(2θ3)+1=c22−4c3+1R(\theta, c) = \frac{c^2}{\theta^2}\left(\frac{\theta^2}{2}\right) - \frac{2c}{\theta}\left(\frac{2\theta}{3}\right) + 1 = \frac{c^2}{2} - \frac{4c}{3} + 1
Risk fonksiyonu böylece θ\theta'dan bağımsız ve sadece cc'ye bağlı bir ikinci dereceden fonksiyona dönüşür.
5
Risk fonksiyonunu cc'ye göre minimize et.
ddcR(θ,c)=c−43=0  ⟹  c=43\frac{d}{dc}R(\theta, c) = c - \frac{4}{3} = 0 \implies c = \frac{4}{3}
Beklenen kaybı en aza indiren en iyi (optimal) katsayıyı bulmak için birinci türev sıfıra eşitlenir.

Anahtar Kavram

Ölçekten bağımsız karesel kayıp altında risk fonksiyonu hesabı ve minimizasyonu
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru