Examkin

Soru

Zorluk: ZorKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler
X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0
olan üstel dağılıma sahip bir kitleden alınmıştır (θ>0\theta > 0).
θ\theta parametresinin tahmini için kullanılacak kayıp fonksiyonu,
L(θ,δ)=(δ−θθ)2L(\theta, \delta) = \left( \frac{\delta - \theta}{\theta} \right)^2
olarak tanımlanmıştır.

δ(X)=c∑i=1nXi\delta(X) = c \sum_{i=1}^n X_i formundaki tahmin ediciler dikkate alındığında, maksimum riski en küçük yapan (minimax) tahmin edici aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1n−1∑i=1nXi\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i
  2. B
    1n∑i=1nXi\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
  3. 1n+1∑i=1nXi\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_iCevap
  4. D
    2n+1∑i=1nXi\frac{2}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i
  5. E
    1n+2∑i=1nXi\frac{1}{n+2} \sum_{i=1}^n X_i

Cevap

Maksimum riski en küçük yapan minimax tahmin edici 1n+1∑i=1nXi\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i ifadesidir.
Verilen oransal karesel kayıp fonksiyonu kullanılarak elde edilen risk fonksiyonu, θ\theta'dan bağımsız (sabit risk) çıkmaktadır. Bu risk fonksiyonu cc'nin bir fonksiyonu olan c2n(n+1)−2cn+1c^2 n(n+1) - 2cn + 1 ifadesine eşittir. Bu ifadeyi minimize etmek, maksimum riski minimize etmek (minimax prensibi) anlamına gelir. Fonksiyonun cc'ye göre birinci dereceden türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde c=1/(n+1)c = 1/(n+1) katsayısı elde edilir. İlgili sınıf içindeki minimax tahmin edici bu formdadır.

Adım Adım Çözüm

1
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin dağılımını ve momentlerini belirleyin.
T∼Gamma(n,θ)T \sim Gamma(n, \theta) dağılımına sahiptir. Beklenen değeri E(T)=nθE(T) = n\theta ve varyansı Var(T)=nθ2Var(T) = n\theta^2 olarak bulunur.
Risk fonksiyonunu hesaplayabilmek için TT'nin birinci ve ikinci momentlerine ihtiyaç vardır.
2
TT'nin ikinci momentini (E(T2)E(T^2)) hesaplayın.
E(T2)=Var(T)+[E(T)]2=nθ2+(nθ)2=n(n+1)θ2E(T^2) = Var(T) + [E(T)]^2 = n\theta^2 + (n\theta)^2 = n(n+1)\theta^2 elde edilir.
Kayıp fonksiyonu karesel olduğu için beklenen değer işleminde TT'nin karesinin beklenen değeri gerekecektir.
3
Verilen kayıp fonksiyonu üzerinden risk fonksiyonunu R(θ,δ)=E[L(θ,δ)]R(\theta, \delta) = E[L(\theta, \delta)] kurgulayın.
δ=cT\delta = cT yerine konulduğunda: R(θ,cT)=E[(cT−θ)2θ2]=1θ2(c2E(T2)−2cθE(T)+θ2)R(\theta, cT) = E\left[ \frac{(cT - \theta)^2}{\theta^2} \right] = \frac{1}{\theta^2} \left( c^2 E(T^2) - 2c\theta E(T) + \theta^2 \right).
Minimax prensibi gereği risk fonksiyonunun maksimumunu minimize edecek cc katsayısını bulmak hedeflenmektedir.
4
Momentleri risk fonksiyonunda yerine yazarak denklemi sadeleştirin.
R(θ,cT)=1θ2(c2n(n+1)θ2−2cθ(nθ)+θ2)=c2n(n+1)−2cn+1R(\theta, cT) = \frac{1}{\theta^2} \left( c^2 n(n+1)\theta^2 - 2c\theta(n\theta) + \theta^2 \right) = c^2 n(n+1) - 2cn + 1.
Risk fonksiyonunun θ\theta parametresinden bağımsız (sabit risk) bir forma dönüştüğünü doğrulamak ve sadece cc'ye bağlı bir fonksiyon elde etmek.
5
Elde edilen sabit risk fonksiyonunu cc'ye göre minimize edin.
ddc[c2n(n+1)−2cn+1]=2cn(n+1)−2n=0  ⟹  c=2n2n(n+1)=1n+1\frac{d}{dc} [c^2 n(n+1) - 2cn + 1] = 2c n(n+1) - 2n = 0 \implies c = \frac{2n}{2n(n+1)} = \frac{1}{n+1}.
Sabit bir riske sahip olan ve bu riski optimize eden tahmin edici, ilgili sınıf için minimax tahmin edici şartını sağlar.

Anahtar Kavram

Oransal Karesel Kayıp Fonksiyonu ve Sabit Risk ile Minimax Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru