Yeni geliştirilen bir batarya teknolojisinin dayanım süresi, \theta > 0 olmak üzere ortala… — KPSS İstatistik

Yeni geliştirilen bir batarya teknolojisinin dayanım süresi, $\theta > 0$ olmak üzere ortalaması $\theta$ olan üstel dağılım ile modellenmektedir. Kalite kontrol birimi, üretilen bataryalardan bağımsız $n$ tanesini teste tabi tutarak örneklem ortalamasını ( $\bar{X}$ ) hesaplamıştır.

Birim, $\theta$ parametresini tahmin etmek için karesel hata kayıp fonksiyonunu ( $L(\theta, T) = (T - \theta)^2$ ) kullanmaktadır. Tahmin edici olarak $T = c\bar{X}$ formunda bir sınıf belirlenmiştir.

Buna göre, risk fonksiyonunu tüm $\theta$ değerleri için en küçük yapan $c$ katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{n}{n+1}$ Cevap
B
$1$
C
$n$
D
$\frac{1}{2}$
E
$\frac{n-1}{n}$

Cevap

Risk fonksiyonunu en küçük yapan katsayı

\frac{n}{n+1}

değeridir.

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında risk fonksiyonu, Hata Kareler Ortalamasıdır (MSE). MSE formülü varyans ile yan miktarının karesinin toplamıdır. Verilen üstel dağılım için

Var(c\bar{X}) = c^2\theta^2/n

Bias = \theta(c-1)

olur. Bu iki bileşenin kareleri toplamı alınıp

c

'ye göre türevi alındığında ve sıfıra eşitlendiğinde, riski en küçük yapan optimal katsayı

\frac{n}{n+1}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında risk fonksiyonunun (MSE) formülünü tanımlayın.

R(\theta, T) = E[(T - \theta)^2] = Var(T) + [Bias(T)]^2

Risk, kayıp fonksiyonunun beklenen değeridir ve karesel kayıp için bu değer varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşdeğerdir.

Tahmin edici

T = c\bar{X}

için beklenen değer ve varyansı hesaplayın.

Üstel dağılımda

E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

olduğundan,

E[\bar{X}] = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur. Buradan

E[c\bar{X}] = c\theta

Var(c\bar{X}) = c^2\frac{\theta^2}{n}

bulunur.

Riskin bileşenleri olan yan ve varyansı bulabilmek için istatistiğin dağılımsal özelliklerine ihtiyaç vardır.

T = c\bar{X}

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını belirleyin.

Bias(T) = E[T] - \theta = c\theta - \theta = \theta(c - 1)

MSE formülündeki yan miktarının karesi bileşenini elde etmek için gereklidir.

Yan ve varyans değerlerini yerine koyarak risk fonksiyonunu

c

'ye bağlı bir denklem olarak yazın.

R(\theta, c\bar{X}) = c^2 \frac{\theta^2}{n} + \theta^2(c - 1)^2 = \theta^2 \left( \frac{c^2}{n} + c^2 - 2c + 1 \right) = \theta^2 \left( c^2 \frac{n+1}{n} - 2c + 1 \right)

Minimize edilecek olan asıl hedef fonksiyonunu oluşturmak hedeflenmektedir.

Risk fonksiyonunun

c

'ye göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek minimum değeri veren katsayıyı bulun.

\frac{d}{dc} R = \theta^2 \left( 2c \frac{n+1}{n} - 2 \right) = 0 \implies 2c \frac{n+1}{n} = 2 \implies c = \frac{n}{n+1}

Fonksiyonun minimum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Karesel Kayıp Altında Risk Minimizasyonu (MSE)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru