Bir finansal modellemede, bir varlığın günlük minimum fiyat dalgalanması X ve maksimum fiy… — KPSS İstatistik

Bir finansal modellemede, bir varlığın günlük minimum fiyat dalgalanması $X$ ve maksimum fiyat dalgalanması $Y$ rassal değişkenleri ile ifade edilmektedir. Bu iki değişkenin birlikte oluşturduğu iki boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ , sadece $0 \leq x \leq y \leq 2$ eşitsizliklerinin sağlandığı bölgede pozitif değerler üretmektedir.

Bu finansal rassal değişkenler göz önüne alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi kesinlikle doğrudur?

A
Eğer bu değişkenler arasındaki kovaryans sıfır ( $Cov(X,Y) = 0$ ) çıkarsa, $X$ ve $Y$ 'nin kesinlikle bağımsız olduğu kanıtlanmış olur.
B
Değişkenler bağımsız olmasalar bile, çarpımlarının beklenen değeri her durumda marjinal beklenen değerlerinin çarpımına ( $E[X \cdot Y] = E[X] \cdot E[Y]$ ) eşittir.
C
$X$ değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için, $f(x,y)$ fonksiyonu $y$ değişkenine göre değil, $x$ değişkenine göre integre edilmelidir.
$x$ ve $y$ değerlerinin sınırları birbirine bağımlı bir yapı sergilediği için (tanım bölgesi dikdörtgensel olmadığından), $X$ ve $Y$ rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olamaz.Cevap
E
Verilen bu yapı içerisinde, $Y$ 'nin belirli bir değerine karşılık hesaplanacak koşullu beklenen değer $E[X|Y=y]$ , her zaman sabit bir sayıya eşittir.

Cevap

X

Y

'nin tanımlı olduğu destek kümesi

y=x

doğrusuyla sınırlandırılmış üçgensel bir bölgedir. Sınırların birbirine bağlı olması (dikdörtgensel olmaması) nedeniyle değişkenler bağımsız olamaz.

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için hem

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğinin sağlanması hem de ortak destek kümesinin eksenlere paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) şeklinde olması zorunludur. Verilen problemde

0 \leq x \leq y \leq 2

bölgesi bir üçgen belirtir; yani

x

'in alabileceği değerler

y

'nin aldığı değere bağlıdır. Bu sınır bağımlılığı matematiksel olarak

X

Y

'nin kesinlikle bağımsız olamayacağını gösterir.

Adım Adım Çözüm

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesini geometrik olarak analiz etmek.

Destek kümesi

S = \{(x,y) : 0 \leq x \leq y \leq 2\}

şeklinde verilmiştir. Bu bölge

x=0

y=2

y=x

doğruları ile sınırlanmış dik üçgen biçiminde bir alandır.

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsızlığı, yalnızca fonksiyonun formülüyle değil, aynı zamanda fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesinin) yapısıyla da doğrudan ilişkilidir.

Sürekli değişkenlerde bağımsızlık için gereken destek kümesi şartını uygulamak.

Bağımsız değişkenlerin ortak destek kümesi, marjinal destek kümelerinin kartezyen çarpımı olmalıdır (

S_X \times S_Y

). Bu da eksenlere paralel bir dikdörtgen oluşturmalıdır.

x

'in sınırları

y

'ye bağlı (

x \leq y

) olduğundan, üçgensel olan bu bölge kartezyen çarpım kuralına uymaz.

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğinin bölgenin tamamında sağlanabilmesi için bölgenin dikdörtgensel olması geometrik bir zorunluluktur.

Seçeneklerdeki diğer istatistiksel yargıları temel kavramlarla çürütmek.

Sıfır kovaryansın doğrudan bağımsızlık anlamına gelmeyeceği, bağımlı değişkenlerde beklenen değer çarpımının ayrılamayacağı ve marjinal fonksiyon bulunurken integralin zıt değişkene göre alındığı hatırlanarak hatalı seçenekler elenir.

Çok değişkenli analizdeki temel teorik özellikler ve matematiksel işlemler kesinlik ifadelerine (her zaman, daima vb.) karşı test edilmelidir.

Anahtar Kavram

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Bağımsızlık ve Destek Kümesi Şartı

Alternatif Yöntem

Destek kümesinin geometrik analizi pratik ve hızlı bir yöntemdir. Ancak zamanın olduğu durumlarda, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

x

'e ve

y

'ye göre integralleri alınarak

f_X(x)

f_Y(y)

hesaplanıp,

f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)

olduğu doğrudan matematiksel denklem üzerinden de gösterilebilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular