Examkin

Soru

Zorluk: KolayOrtak Olasılık Fonksiyonları

XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

f(x,y)={k,0<y<x<10,dig˘er durumlarf(x, y) = \begin{cases} k, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, bu ifadenin geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için kk sabitinin değeri kaç olmalıdır?

  1. A
    1/2
  2. B
    1
  3. C
    3/2
  4. 2Cevap
  5. E
    4

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olması için k sabitinin değeri 2 olmalıdır.
Verilen fonksiyonun tanımlı olduğu bölge bir dik üçgendir (köşeleri (0,0), (1,0) ve (1,1)). Bu üçgenin alanı (taban×yu¨kseklik)/2=(1×1)/2=1/2(\text{taban} \times \text{yükseklik}) / 2 = (1 \times 1) / 2 = 1/2 birim karedir. Fonksiyon bu bölge üzerinde sabit bir kk değerine sahip olduğundan, integral sonucu k×Alank \times \text{Alan} olacaktır. k×(1/2)=1k \times (1/2) = 1 eşitliğinden k=2k = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam olasılık kuralını yazın.
∫−∞∞∫−∞∞f(x,y) dy dx=1\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dy \, dx = 1
Bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzay üzerindeki integrali her zaman 1'e eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonun tanımlı olduğu sınırlar için integrali kurun.
∫01∫0xk dy dx=1\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \, dy \, dx = 1
Fonksiyon 0<y<x<10 < y < x < 1 bölgesinde tanımlı olduğundan, yy değişkeni 0'dan xx'e kadar, xx değişkeni ise 0'dan 1'e kadar değişmektedir.
3
İç integrali (yy değişkenine göre) hesaplayın.
∫0xk dy=[ky]0x=kx\int_{0}^{x} k \, dy = [ky]_0^x = kx
Sabit bir değerin integrali, değişkenin kendisiyle çarpımına eşittir.
4
Dış integrali (xx değişkenine göre) hesaplayarak sonucu 1'e eşitleyin.
∫01kx dx=[kx22]01=k2=1\int_{0}^{1} kx \, dx = [\frac{kx^2}{2}]_0^1 = \frac{k}{2} = 1
Elde edilen kxkx ifadesinin xx sınırlarında integrali alınarak toplam olasılık bulunur.
5
Denklemi çözerek kk değerini bulun.
k=2k = 2
Olasılığın 1 olabilmesi için k/2 oranının 1'e eşit olması gerekir.

Anahtar Kavram

Bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda (PDF), fonksiyonun tanımlı olduğu bölge üzerindeki hacim (integral) her zaman 1 olmalıdır. Eğer fonksiyon bir sabitse, bu sabit değer bölgenin alanının çarpmaya göre tersidir (k=1/Alank = 1 / \text{Alan}).

Daha Fazla Pratik

Aynı bölge üzerinde f(x,y)=k⋅xf(x, y) = k \cdot x fonksiyonu için normalizasyon sabitini hesaplayarak bilginizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Olasılık Fonksiyonları