Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOrtak Olasılık Fonksiyonları

Bir kalite kontrol sürecinde, bir cihazın test aşamasındaki iki farklı işlem adımının tamamlanma süreleri (saat cinsinden) sırasıyla XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Birinci adım tamamlanmadan ikinci adım bitirilemediği için X<YX < Y koşulu geçerlidir. Bu değişkenlere ait ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, cc bir sabit olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y)={c(x+y),0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x, y) = \begin{cases} c(x + y), & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, birinci adımın yarım saatten daha kısa sürede tamamlanma olasılığı kaçtır?

  1. A
    34\frac{3}{4}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. 58\frac{5}{8}Cevap
  4. D
    516\frac{5}{16}
  5. E
    18\frac{1}{8}

Cevap

Birinci adımın yarım saatten kısa sürme olasılığı 58\frac{5}{8}'dir.
Çözüm için öncelikle fonksiyonun hacminin 1 olması kuralı uygulanarak c katsayısı 2 olarak bulunur. Ardından, X'in marjinal dağılımı f_X(x), y değişkeninin alt sınırı x ve üst sınırı 1 olacak şekilde entegre edilerek f_X(x) = 1 + 2x - 3x^2 elde edilir. Son olarak bu marjinal dağılım üzerinden birinci adımın yarım saati geçmemesi şartı için 0'dan 0.5'e belirli integral alındığında olasılık 5/8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
cc sabitini bulmak için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm uzay üzerindeki integralini 1'e eşitleriz.
∫01∫x1c(x+y) dy dx=1\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} c(x + y) \,dy \,dx = 1 denklemi çözüldüğünde ∫01c(x(1−x)+1−x22) dx=1\int_{0}^{1} c\left(x(1-x) + \frac{1-x^2}{2}\right)\,dx = 1 ve integral sonucu c2=1\frac{c}{2} = 1 elde edilerek c=2c = 2 bulunur.
Bir fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) olabilmesi için tanımlı olduğu tüm alan altındaki toplam hacminin 1'e eşit olması zorunludur.
2
Birinci adımın olasılığı istendiği için XX değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu (fX(x)f_X(x)) buluruz.
fX(x)=∫x12(x+y) dy=2[xy+y22]x1=2(x+12−x2−x22)=1+2x−3x2f_X(x) = \int_{x}^{1} 2(x + y) \,dy = 2\left[xy + \frac{y^2}{2}\right]_{x}^{1} = 2\left(x + \frac{1}{2} - x^2 - \frac{x^2}{2}\right) = 1 + 2x - 3x^2 fonksiyonu elde edilir.
Sadece XX ile ilgili bir olasılık (P(X<0.5)P(X < 0.5)) hesaplanacağından, ortak dağılımdan YY değişkeni üzerinden (alt sınır xx, üst sınır 11 olacak şekilde) integral alınarak XX'in marjinal dağılımı elde edilmelidir.
3
Bulunan marjinal dağılımı kullanarak istenen olasılığı (P(X<0.5)P(X < 0.5)) hesaplarız.
P(X<0.5)=∫00.5(1+2x−3x2) dx=[x+x2−x3]00.5=0.5+0.25−0.125=0.625=58P(X < 0.5) = \int_{0}^{0.5} (1 + 2x - 3x^2) \,dx = \left[x + x^2 - x^3\right]_{0}^{0.5} = 0.5 + 0.25 - 0.125 = 0.625 = \frac{5}{8} bulunur.
Birinci adımın yarım saatten kısa sürme olasılığı matematiksel olarak P(X<0.5)P(X < 0.5) ifadesine eşittir.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerde kısıtlı bölgeler üzerinde ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan marjinal dağılımın bulunması ve olasılık hesaplaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Olasılık Fonksiyonları