Examkin

Soru

Zorluk: KolayOrtak Olasılık Fonksiyonları

Bir teknoloji mağazasında, iki farklı ürün grubunun aylık satış iade oranları XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

f(x,y)={k(2x+3y),0<x<1,0<y<10,dig˘er durumlarf(x, y) = \begin{cases} k(2x + 3y), & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, f(x,y)f(x, y) fonksiyonunun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için kk sabitinin değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. A
    15\frac{1}{5}
  2. 25\frac{2}{5}Cevap
  3. C
    35\frac{3}{5}
  4. D
    52\frac{5}{2}
  5. E
    1

Cevap

İfadenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için k sabiti 2/5 değerini almalıdır.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımı gereği, fonksiyonun tüm tanım bölgesi üzerindeki integrali 1'e eşit olmalıdır. 0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1 sınırları içerisinde k(2x+3y)k(2x + 3y) fonksiyonunun integrali hesaplandığında 2,5k2,5k sonucu elde edilir. 2,5k=12,5k = 1 eşitliğinden k=1/2,5=2/5k = 1 / 2,5 = 2/5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun temel şartını belirleyin.
∫−∞∞∫−∞∞f(x,y) dx dy=1\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \, dx \, dy = 1
Bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için tüm uzaydaki hacminin 1'e eşit olması gerekir.
2
Verilen tanım aralıklarına göre çift katlı integrali kurun.
∫01∫01k(2x+3y) dx dy=1\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} k(2x + 3y) \, dx \, dy = 1
Değişkenler 00 ile 11 arasında tanımlı olduğu için integral sınırları bu değerlere göre belirlenir.
3
İçteki integrali (xx'e göre) hesaplayın.
∫01k[x2+3xy]x=0x=1 dy=∫01k(1+3y) dy\int_{0}^{1} k [x^2 + 3xy]_{x=0}^{x=1} \, dy = \int_{0}^{1} k(1 + 3y) \, dy
2x2x teriminin integrali x2x^2, sabit kabul edilen 3y3y teriminin integrali ise 3xy3xy olur.
4
Dıştaki integrali (yy'ye göre) hesaplayın.
k[y+3y22]01=k(1+32)=52kk [y + \frac{3y^2}{2}]_{0}^{1} = k(1 + \frac{3}{2}) = \frac{5}{2}k
Elde edilen tek değişkenli fonksiyonun integral sınırları uygulanarak toplam hacim kk cinsinden bulunur.
5
Elde edilen sonucu 1'e eşitleyerek kk değerini bulun.
52k=1⇒k=25\frac{5}{2}k = 1 \Rightarrow k = \frac{2}{5}
Normalizasyon sabitini bulmak için integral sonucunun çarpmaya göre tersi alınır.

Anahtar Kavram

Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Normalizasyonu

Daha Fazla Pratik

Aynı fonksiyon için marjinal yoğunluk fonksiyonlarını fX(x)f_X(x) ve fY(y)f_Y(y) hesaplayarak değişkenlerin bağımsız olup olmadığını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Olasılık Fonksiyonları